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 R ilésignaiit l'intégrale elliptique complète de première espèce ; nous par- 

 venons ainsi à la formule 



(2) T, = /;/o I 4- $cos ( a am — a; + A j > 



que nous nous proposons de développer suivant les multiples dex. 



» Désignons par A-. le module ^ -, et par K, l'intégrale complète 



, . , , 2R 2R, 1 



correspondante; soient, de plus, — jc = a, 2X = u,; on a, par la 



théorie des fonctions elliptiques, 



(i — k;) sin am«, 



sni 2 am u = ; ) 



Aainui — AiCosamH, 



('i — A')cosam«, , 



cos 2 am n = —^ —, A , ; 



^amu, — /,cosam«i 



en introduisant ces valeurs dans l'expression (2), on obtient 



-f = '- I (i — A-, OcosA)AamM. 



/«„ AaniK, — /,cosamtt| | ^ ' 



— [A, (1 — A,OcosA) 



— (f — A-^)$cosA]cosamî<, 



— (i — A^)Osin Asinam?«, |; 



d'où l'on tire, en ayant égard aux relations bien connues, 



Aamu, = " — '—, 

 Aam (K, — a, ) 



cosam(Ki — «,) 



sui am u, — - — ~ r , 



Aam (Kl — II,) 



J i — A] sin am (K, — « , 



cosam?^, = 



Aain(K, — II,) 

 — X, <l)cosA ( 



I — /.isinani (K, 



A, — ^ j^ sinamfK, — u.) 



y/i— ,?-^ <Iisin A ,„ > 



— r-^ cosamfK, —m,) 



I — A,* cos A ^ ' 



Si, dans cette expression, nous introduisons deux fonctions nouvelles, <î>, 

 et A,, définies par les relations 



(3) 



— '^i + ^ r4 r = *î'< ^os A ,, 



I — A'i'î'COS A ' 



J i — X ; <l>sin A 



■' . ^ =:$,sm A,, 



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