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 versole passant par O constniisojis, à partir de ce point, un rajon vecteur qui 

 soit la somme algébrique des rayons vecteurs déterminés sur la transversale par la 

 conique C et par les droites D. Le lieu des points obtenus est une courbe d'ordre n, 

 ayant un point multiple d'ordre n — i en O, et ayant pour asymptotes les deux, 

 asymptotes de la conique et les n — i droites D. 



« La réciproque de ce théorème est surtout remarquable. Elle consiste, 

 ainsi que M. Niewenglowski l'a établi, en ce que toute courbe du n""™* ordre 

 ayant un point multiple d^ ordre n — i est susceptible d'un pareil mode de géné- 

 ration. 



» Toutefois, au point de vue de la Géométrie pure, ce mode de généra- 

 tion ne s'applique réellement qu'aux courbes ayant au moins n — 2 asym- 

 ptotes réelles. On obtient une description graphique de ces courbes abso- 

 lument générale, en remarquant que l'on peut substituer à un couple 

 d'asymptotes de la courbe du n""'"" ordre une conique admettant ces deux 

 asymptotes et passant par le point multiple; c'est ce que nous allons 

 établir. 



» Imaginons sur un même plan une courbe du p'''"^ ordre A, ayant en O 

 un point nuiltiple d'ordre p — i, et une conique B. Une droite quelconque 

 passant en O rencontrera chacune de ces deux courbes en un seul point : 

 soient a et b les deux points. En portant sur la transversale, à partir du 

 point O, Om = On +■ Ob, on obtiendra un certain lieu qui sera d'ordre 

 /j + 2, et aura en O un point multiple d'ordre p -h i. En effet, la conique 

 symétrique de B par rapport à O, ayant en ce point p — i points communs 

 avec A, rencontre cette courbe en p -\- 1 autres points qui, joints à O, 

 donnent les tangentes en O au lieu cherché. Toute transversale issue de 

 ce point rencontre donc le lieu en p -h 2 points, dont p -+- i sont con- 

 fondus en O. Quant aux asymptotes de cette courbe, on voit immédiate- 

 ment que ce sont les p asymptotes de A et les deux asymptotes de B. 



» D'après cela, considérons dans le plan m coniques C passant par un même 

 point Oetq droites D, et supposons que im + q ^= n. Sur chaque transversale 

 passant par O construisons, à partir de ce point, un rayon vecteur qui soit la 

 somme algébrique des rayons vecteurs détermiiïés sur la transversale par les m 

 coniques C et par les q droites D. Le lieu des points obtenus est une courbe 

 d ordre 2in -\- q = n, ayant un point multiple d'ordre n — i en O, et ayant 

 pour asymptotes les 2 m asymptotes des m coniques C et les q droites D. 



» Réciproquement, toute courbe dit «'""" ordre à point multiple d'ordre 

 n — I est susceptible d'un paieil mode de génération, et cela, en général, de 

 plusieurs manières. 



