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» On peut donner de ce fait une démonstration purement géométrique. 



» Supposons, pour fixer les idées, que la courbe A considérée ait 

 o.m asymptotes imaginaires et n — iin = q asymptotes imaginaires réelles. 

 Les 2m asymptotes imaginaires étant conjuguées deux à deux, nous pou- 

 vons construire m coniques réelles passant par le point multiple O de A, 

 et ayant respectivement pour asymptotes les m couples d'asymptotes ima- 

 ginaires conjuguées de cette courbe : chacune de ces coniques se trouve 

 déterminée par un de ses points, son centre et les directions de deux dia- 

 mètres conjugués. Or les m coniques ainsi déterminées et les q asymptotes 

 réelles permettent de construire, suivant la définition donnée plus haut, 

 une courbe A' de degré n = ^m -h q, ayant pour point multiple d'ordre 

 n — I le point O, et pour asymptotes les 7i asymptotes de A. Or une courbe 

 de degré n^ à point multiple d'ordre n — i, est, comme on sait, complète- 

 ment déterminée par la connaissance de son point multiple et de ses 

 71 asymptotes : la courbe A' ne saurait donc différer de A. 



» Le raisonnement qui précède ne suppose nullement que les 2m asym- 

 ptotes associées par couples soient toutes imaginaires; seulement, si plusieurs 

 couples sont réels, on peut composer le groupe des 7?i coniques reelles de 

 plusieurs manières. 



» Remarquons aussi que, dans le cas où toutes les asymptotes de la 

 courbe du n''"'" ordre sont réelles, on peut construire cette dernière en 

 se servant uniquement de ses Ji asymptotes : la conique employée par 

 M. Niewenglowski n'est plus nécessaire. 



» Sans nous étendre sur les conséquences du nouveau mode de géné- 

 ration des courbes du n'""" ordre à point multiple d'ordre n — i, nous 

 pouvons remarquer qu'il en résulte une construction fort simple de leur 

 tangente, la sous-normale étant la somme algébrique des sous-normales des 

 droites et des coniques auxiliaires qui servent à définir la courbe. Le rayon 

 de courbure se construit aussi très-aisément. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Théorème sur les covariants; 

 par M. C. Jordan. 



« Soient A„, B„,... des formes binaires d'ordre «, en nombre c[uel- 

 coiique; A„_|, 1(„_|,... des formes d'ordre ?i ~ r, etc. Soient enfin C im 

 covariant du système de ces formes; O l'ordre de C par rapport aux va- 

 riables; cl„ son degré total par rapport aux coefficients de A„, B,,,...; 

 c/„_i son degré par rapport aux coefficients de A,,.,, V>„-,, etc. 



