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droite D du plan ; 



(i) U = (rt, ^, c, . ..) = 



l'équation mixte de R" et II = (a. /3, y,- • •) l'équatiou mixte de la polaire 

 de la droite de l'infini relativement à R". L'équation mixte de la polaire de 

 D relativement à R" est (F. B.^ u° 4) uV.^— vU , -1- 0)11 = o; si l'on élimine 

 X et p. entre cette équation et l'équation (i), on obtient l'équation T = o 

 des/i [n — i) tangentes menées à R" aux points de rencontre de cette courbe 

 et de D. Si, en posant pour abréger X— | — x et Y = ri — f CE, et ri dési- 

 gnant les coordonnées courantes), on remplace, dans le résultant T, u, v et 

 w respectivement par p., — X et XY — p.X, l'expression T' ainsi obtenue 

 étant égalée à zéro donne 1 équation mixte des points de contact des n tan- 

 gentes menées du point (x, j-) à la courbe. Enfin, si l'on forme le discri- 

 minant de T', ce discriminant sera un carré parfait R^ et l'équation R = o 



représentera les -^ droites mentionnées dans l'énoncé du théorème. Il 



faut maintenant former l'équation de la droite polaire du point [jc, )■) re- 

 lativement à la courbe R = o, ou, ce qui est la même chose, relativement à 

 la courbe R- =0; et je remarque d'abord qu'il suffit de calculer dans le 

 discriminant R- le terme constant et les termes du premier degré en X et 

 en Y, en négligeant les termes du second degré. 



» Le résultant T, quand on y néglige les termes en w d'un degré supé- 

 rieur au premier, est simplement U(-- v, u) -+- «un( — v, 71), comme on 

 le voit facilement en se servant de la formule élémentaire qui donne la dé- 

 composition d'une fraction rationnelle en fractions simples; on déduit 



de là 



T'= U(X, pî + «(XY - fjiX)n(X, p.), 

 ou 



T'^ {a,h,c,...)+ [/luY, (/i -i)/3Y - «X, [fi ~ 2)vX-- a/BX,...]; 



d'où, en négligeant toujours les puissances de X et de Y supérieures à la 

 première et en appelant A le discriminant de U [égalé à zéro il donne l'é- 

 quation de C"'"-"J 



R^ =. A + nuY ^1 + [{n - ,)fiY - «X] f^ + • ^. ; 

 d'où encore, en se rappelant que n = o représente la polaire de la droite 



la théorie des fotmes binaires à la Géométrie analytique. [Journal de Mathématiques, 3' s6- 

 rie, t. V.) 



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