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de l'infini et en employant une formnle donnée dans le Mémoire déjà cité 

 {F.B., nM3), 



dx dy 



la polaire du point [x, j) relativement à R^ est 



ou, en vertu du théorème connu sur les fonctions homogènes, 



^d\ d\ ^ d\ 



^ dx dy ' dz 



1) La proposition est donc démontrée. 



» 2. Si la courbe de «'^'"^ classe K" est une courbe C" d'ordre inférieur à 

 n(n — i), le théorème précédent lui est applicable en la considérant comme 

 une courbe d'ordre ii[ii — i) obtenue en adjoignant à C" ses t tangentes 

 doubles (chacune d'elles étant comptée deux fois) et ses i tangentes d'in- 

 flexion (chacune d'elles étant comptée trois fois). 



» On peut donc énoncer la proposition suivante : 



» Théorème II. — Etant donnée une courbe de n"^'"" classe et du même 

 ordre R" = C", possédant l tangentes doubles et i tangentes d'injlexion, si l'on 

 désigne respectivement par D, I, T et A. les droites polaires d'un point M du 

 plan relativement à la courbe C"^ , à l'ensemble des tangentes doubles, à l'ensemble 

 des tangentes d'infcxion et à l'ensemble des droites qui joignent, deux à deux, 

 les points de conluct des tangentes menées du point M à R", In droite A est lu 

 polaire du point M relativement au triangle formé par les droites D, T ell, ces 

 droites étant supposées de poids proportionnel aux nomb/es m, o.t et M. 



» En d'autres termes, si par le point M on mène une sécante quelconque 

 rencontrant respectivement les droites D, T, I et A aux points d' , i! , ï et 5', 



on a la relation 



n[n — I ) m it 3 ?' 



■ + 



RU' Mrf' Ut' M/' 



» 3. En particulier, si la courbe considérée se décompose en deux 

 courbes distinctes, on obtient la proposition suivante : 



1) TuÉOliÈMlî III . — Etant données deux courbes quelconques de classe n et n' , 

 R" et R"', la droite polaire d'un point quelcowpie M du plan, relativement à 

 leurs nn' tangentes communes, est la droite polaire du même point relativement 

 aux nn' droites qui joignent les points de contact des tangentes menées de M. à R" 

 aux points de contact des tangentes menées de M à R"'. 



