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 » Lemme PRÉLIMINAIKE. — Si les deux surfaces M, N ont en commun un 

 point A respectivement multiple d'ordre a,, Un, la surface S a ce même point pour 

 point multiple d'ordre [a, -h a 2 — 2). 



» Cela posé, un seul exemple suffira pour bien fixer la méthode que 

 nous proposons. 



» Problème. — Deux surfaces M, N d'ordres 'op., 3v ont en commun quatre 

 points A, B, Cj D multiples d'ordres 2p. pour la première surface, et d'ordres 2V 

 pour In seconde ; elles se touchent en outre en t points de contacts ordinaires et 

 p points de contacts stationnaires : on demande les singularités de leur courbe 

 d'intersection. 



)) Remarquons d'abord que les points A, B, C, D étant multiples 

 d'ordres 2 p. pour la première surface, il s'ensuit, d'après un théorème connu 

 (voir les Bulletins de l' Académie rojale de Belgique, année 1872, p. 5i), que 

 les six arêtes du tétraèdre ayant pour sommets ces points sont pour cette 

 surface des lignes multiples d'ordres p.. Le même théorème montre que ces 

 arêtes sont multiples d'ordres v pour la seconde surface. Si donc on coupe 

 ces deux surfaces par un plan, on voit que la courbe commune se compose 

 d'une courbe d'ordre gp.v — 6/j.v = 3/jr.y et des six arêtes du tétraèdre 

 comptées chacune pour une courbe d'ordre p.v. C'est évidemment des singu- 

 larités de la courbe d'ordre 3|j.v dont nous avons à nous occuper. Avant 

 d'aller plus loin, remarquons que cette courbe a les points A, B, C, D mul- 

 tiples d'ordres p.v (on le voit immédiatement en coupant par des plans pas- 

 sant par ces points) et a < points doubles, et /3 points stationnaires. 



» Cela posé, le rang de la courbe en question est évidemment égal au 

 nombre des points simples que cette courbe a en commun avec la surface S, 

 sauf les points simples qu'elle pourrait avoir en commun avec le reste de 

 l'intersection des deux surfaces, c'est-à-dire ici avec les six arêtes. Or, d'a- 

 près le lemme préliminaire, les points A, B, C, D sont pour la surface S 



multiples d'ordres 



np. H- 2V — .2 ; 



donc en chacun d'eux il y a 



p.v[2[J.-\- 2V — 2 ) 



points confondus, en sorte que, la surface S étant d'ordre 



'5[j. + 3v — 2, 

 le nombre des points simples en question est 



/' = (3jj. -f- 3v — 2)3p.v — 4- p (2/J. 4- 2v — 2) — 2« — 2/3, 



