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 par des lignes géodésiques, on assujettisse les expressions trouvées pour E 

 et S à satisfaire à la condition (i) (*). 



» On est ainsi conduit à désigner par A" un nombre tel, qu'on doive avoir 



et à intégrer, d'une part, dans le cas des valeurs positives de G, l'équation 



d'autre part, dans le cas des valeurs négatives de G, l'équation analogue 



^.-jï = o pour S = 7:-p, 



et, en dernier lieu, quand on voudra avoir G = it co , l'équation plus 

 simple 



= o pour a = n. 



d 



Y' 



» Les intégrales générales de ces trois équations sont connues; les con- 

 stantes arbitraires peuvent aisément être déterminées de manière que, pour 

 j- = o, on ait y(o) = i, conformément à ce qui est nécessaire d'après 

 l'équation [d). 



» L'entier développement de ces équations conduit à un nombre illimité 

 de surfaces de révolution, les unes du genre spliérique, les autres du genre 

 pseitdo-spliérique. 



» Dans le genre sphérique, il y a autant d'espèces distinctes que de va- 

 leurs différentes on voudra atli'ibuer à k, et, dans chaque espèce, il y a au- 

 tant de surfaces distinctes que de valeurs différentes on voudra attribuer à 

 la constante L de l'équation [d). 



1) Dans le genre pseudo-sphériqne, on obtient deux classes distinctes. 

 Les surfaces de la première classe ressemblent à des hyperboloïdes gauches; 

 celles de la seconde classe ressemblent à des cônes de formes évasées à 

 partir des sommets des cônes. 



)) Dans l'une et l'autre classe, il y a (comme dans la classe unique du 

 genre sphérique) autant d'espèces distinctes que de valeurs différentes on 

 voudra attribuer à A et, dans chaque espèce, un nombre illimité de surfaces 

 distinctes. 



» Parmi la totalité de ces surfaces, il s'agit de reconnaître celle qui est 

 ou plane, ou superposable à un plan. 



(*) Page i388 de ce volume. 



