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» d'autres nombres parfaits que ceux que l'on déduit de la formule (3) » 

 (celle d'Euclide.) 



» La question est donc restée tout entière, depuis l'école d'Alexandrie, 

 3oo ans avant l'ère modernCc Peut-on trouver des nombres parfaits impairs? 

 Le Mémoire a pour objet de résoudre cette question et de donner la théorie 

 des nombres parfaits dont il fait connaître un grand nombre de propriétés 

 nouvelles. 



» Une puissance d'un nombre premier ne peut être un nombre parfait. 



» Nous appelons indicateur d'un nombre le rapport r^^ de la somme 

 des parties aliquoles au nombre lui-même et binôme indicateur la somme 

 I -+- /«. 



» L'indicateur d'un nombre composé de deux facteurs est égal à la somme 

 des indicateurs des facteurs augmentée du produit des indicateurs. L'in- 

 dicateur d'un nombre premier est l'inverse du nombre. L'indicateur de 

 tout nombre parfait est égal à l'unité. 



» Le produit de deux nombres premiers impairs ne peut être un nombre 

 parfait. Le nombre parfait impair devrait être un carré. 



» // ne peut exister de nombre parfait impair. 



» Cette propriété, cachée jusqu'ici, se démontre en faisant voir que la 

 forme nécessaire des nombres parftuts impairs et la condition essentielle 

 de l'indicateur des nombres parfaits, d'être égal à l'unité, impliquent 

 contradiction. 



» Un carré impair étant donné, le rapport de la somme de ses diviseurs 

 au nombre lui-même ne peut être égal à 2. Il résulte de là une série illi- 

 mitée de théorèmes négatifs. 



» Tous les nombres parfaits sont renfermés dans la formule d'Euclide 

 2"'(2'"^' — i). 2'""^' — I doit être nombre premier. La condition nécessaire 

 est que m -i-i, nombre des termes de la série, soit aussi premier, mais elle 

 n'est pas suffisante. 



» Propriétés des nombres parfaits, — Les nombres parfaits forment deux 

 séries. 



» 1° 2 '''(2'''+' — i), nombres parfaits terminés par un C; 



» 2° 2'/'+^ (2'/'+ 3 _ i), nombres parfaits terminés par un 8. 



» Les cinq pramiers nombres parfaits sont alternativement terminés 

 par 6 et par 8; cette loi d'alternance n'est pas générale comme le croyaient 

 les anciens. Nous donnons le calcul des dix premiers termes de la série 

 des nombres parfaits. Les intervalles qui renferment un seul nombre par- 

 fait deviennent de plus en plus considérables; il n'y a que dix nombres 

 parfaits entre i et 10^'. 



