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 courbe U"' soit égale à la dislance de son point de contact Ô' au point x, est une 

 courbe de l'ordre 2(111 + n)n'-t- mm'. 



a:, nn 2 u 



II, {m' 'h 2n') ni x 



2nn' + (m' -h 2 11') m. 



C'est-à-dire ! D'un point x on mène à TJ" n tangentes xB, et de leurs points de contact on 

 mène n'n" tangentes 69' à la courbe U"" ; les cercles décrits des points de contact 6' avec les 

 rayons 8' 9 coupent L en 2nn' points u. Un point u étant pris sur L, il existe, sur U"', 

 {m' + in') m points 9 tels, que 6û'=6'm (d'après le théorème IVo); les tangentes aux 

 points coupent L en (/w'+ •zm')m points .r. 11 y a donc w'-f 3«') m -h i/m' coïncidences 

 de X et u. Donc, etc. 



)) La courbe a, à l'infini, deux points multiples d'ordre nn',m points 

 multiples d'ordre -in' aux m points de U,„, et mm' points simples sur les 

 tangentes de U" aux m'ni points de cette courbe situés sur les tangentes des 

 m' points de U"' à l'infini. 



» VII. La tangente en chaque poinlO d'une courbeV"' rencontre une courbe U^ 

 en m points a ; les milieux des m segments 6 a. sont sur une courbe d'ordre 

 m (m' 4- n'). 



u 



Il [m' -+- 27i') m X 



m [m' ■+- 3 Ji' 



C'est-à-dire : D'un point x de L on mène «' tangentes jtO de U"', dont chacune coupe Un 

 en m points a ; des perpendiculaires élevées sur le milieu de chaque segment 9n coupent L 

 en m points u, ce qui fait n' m points u pour les n' tangentes x9. Un point u donne lieu ."i 

 (m' + m') m tangentes 9 «, pour lesquelles u9 = ua (théorème IV. o), ces tangentes coupent L 

 en {m' -h %n')in points .r. Donc ni [m' -f 3/j' ) coïncidences de x et «. 



» Il y a 2mn' solutions étrangères dues aux points j? de L situés sur les 

 tangentes de U'" passant par les 2 points circulaires de l'infini. Il reste 

 m [m' + n'). Donc, etc. 



» Les points de la courbe à l'infini sont m points multiples d'ordre n 

 situés aux m' de U"', et mm' points simples situés sur les tangentes de U'" 

 aux mm' points d'intersection des 2 courbes. 



» VIII. Le lieu d'un point x d'où ton peut mener à une courbe U"' une tan- 

 gente xô qui soit divisée en son milieu par une courbe U,„ est une courbe de 

 l'ordre m (m' -l- n'). 



X, n'm .. 



m [in + n). 



//, mm' X 



