( 258 ) 



C'est-à-dire : D'un point x on mène «' tangentes ^9 de U"'; les perpendiculaires élevées 

 sur le milieu de chaque tangente coupent Um en m points, et les droites menées de ces points 

 au point de contact de la tangente coupent L en m points u , ce qui fait n' m points u. Les 

 droites menées d'un point u de Là des points 6 de U"' ont leurs milieux sur une courbe 

 d'ordre m' (VI); conséqueninient m'm droites «9 ont leurs milieux sur Um; les tangentes en j: 

 pointsS coupent L en mm' points x. Il y a m [m' H- n' ) coïncidences de sr et u. Donc, etc. 



» Les points de la courbe à l'infini sont m points multiples d'ordre n 

 situés aux m points de U,„, et m' points multiples d'ordre in situés aux 

 m' points de U"'. 



» IX. a. Le lieu d'un point x d'où, l'on mène à une courbe U" une tangente 

 dont le point de contact soit à la même distance d'un point O que le point x, est 

 une courbe de l'ordre 2(m h- n). 





u. 



ni 

 2 m 



X 



2{m + 7i). Donc, etc. 



)i La courbe a, à l'infini, 2 points multiples d'ordre n aux 2 points cir- 

 culaires, et m points doubles aux m points de TJ". 



» IX. b. Le lieu d'un point x d'oîi l'on mène à une courbe U" une tan- 

 gente xô telle, que la tangente ôô' menée de son point de contact à une 

 courbe L"' soit égale à la distance de son point de contact Q' au point x, est une 

 courbe de l'ordre nim'-l- 2mn'-+- ann'. 



X-, nu 2 u 



u, (m' H- 2 7i')m X 



mm -\- imn -+- "i-nn 



C'est-à-dire :D'un point .r de L on mène n tangentes .c6, et des points de contact 6 on mène 

 nn' tangentes 96', puis des points de contact 9' on décrit des cercles qui coupent L en 

 inn' points u. Un point u étant pris sur L, il existe (en vertu du théorème IV. a) 

 (m' -H •i.n')m points9 de U" tels, que 69'= 9'a; les tangentes en ces points 6 coupent L en 

 (m'-l- 2«')/« points u. Donc mm' -h %mn'-t- 'inn' coïncidences de x et u. Donc, etc. 



j) La courbe a, à l'infini, deux points midtiples d'ordre nn' aux a points 

 circulaires, m points multiples d'ordre in' aux m points de U^, et 

 moi' points simples appartenant aux tangentes de U", dont les points de 

 contact B sont les points d'intersection de U" par les m' asymptotes de U"'. 



» Observation. — 1. Dans tous les théorèmes qui précèdent, j'ai indiqué, 

 après chaque démonstration, la nature et la position des points multiples 



