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GÉOMÉTUJE. — Théorèmes dons lesquels entre une condilinn d'égalité de deux 

 segments rectilignes; par M, Chasles. 



§ II. — On CONSlDÈBIi TKOIS COURBES u'oRUnt ET DE CLASSE (QUELCONQUES. 



» Xrt. Le lieu d'un point x pris sur la tangente d'un point 6 d'une courbe U", 

 et dont la distance à un point P est égale à la distance du point à un point O, 

 est une courbe de L'ordre a ( m -l- n). 



» Hb. Le lieu d'un point x d'oii l'on mène à deux combes U" TJ"" deux 

 tangenteSj dont la seconde est égale à la distance du point de contact de la pre- 

 mière à un point O, est une courbe de l'ordre a ( mn" -l- riin" + nn" ). 



M X c. Le lieu d'un point x pris sut la tangente d'un point 6 d'une courbe V", 

 et dont ta distance à un point O est égale à une tangente 6Q' menée du point Q à 

 une autre courbe U"', est une courbe d'ordre 2 (mm' + mn' + nn'). 



« Xc/. Le lieu d'un point x d'où l'on mène à deux courbes U", U"' deux 

 tangentes xQ, xô', dont la seconde est égale à une tangente 60" menée du point 

 de contact de la première à une courbe U"", est une courbe de l'ordre 



1 [niiï {ni" -^ 11") + nn" [m' + n')\. 



a?, nn"['i.iii' -\- 211') u 

 u, n {2m" -h 2n")in x 



Donc, etc. 



C'est-;\-(iire : D'un point x on mène n tangentes xB de U"; puis, des « |)oints de contaci, 

 nn" tangentes 90' de U"" ; les tangentes de U"' , de même longueur que ces nn" tangentes, ont 

 leurs e.xtrémités sur nn" courbes d'ordre (2//;' -h 2/;'); elles ont donc nn" ( 2/;/-f- 2«') extré- 

 mités « sur L. D'un point u on mène n' tangentes u &' de U"' ; les tangentes de U"' , de même 

 longueur, ont n' [i.ni" -y- in")m extrémités sur U"; les tangentes en ces points S coupent 

 L en «'( im" -'- in")m poinis x. Donc, etc. 



» La courbe a, à l'infini, deux points multiples d'ordre nn' n" aux deux 

 points circulaires; m points niidtiples d'ordre 2n' n" aux m points de U"; 

 m' points multiples d'ordre 2nn" aux m' poinis de U" , et m"m points mul- 

 tiples d'ordre 2«' appartenant aux tangentes de U" aux m" m points de cette 

 courbe situés sur les tangentes des m" points de U"" à l'infini. 



■» Xla. Le lieu d'un point X d' oit l'on mène à une courbe U"' une tangente, 

 dont un segment intercepté entre ce point et une courbe U,„ soit égala la distance 

 du point de contact de la tangente à un point O, est une courbe de l'ordre 

 2m (m' -H 2 n'). 



» La courbe a, à l'infini, deux points multiples d'ordre ni/i' aux deux 

 points circulaires; tn jjoints multi|)lcs d'ordre 2n' aux m pouits de L", et 

 ni points multiples d'ordre 2//1 aux m' pomls de Ll''. 



