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 » La méthode que j'avais employée pour intégrer l'équation différen- 

 tielle 



n'était pas aussi directe que celle de M. Bonnet; mais, reprenant les calculs, 

 j'ai aperçu qu'il y avait un système d'équations aux différentielles partielles 

 auxquelles l'extension laite par M. Bonnet pouvait aussi s'appliquer. Je vais 

 donner ce résultat dans ce qui suit. 



» Considérons une surface dont toutes les lignes de courbure sont planes 

 et supposons que leurs plans coupent la surface à 45 degrés. En prenant 

 les lignes de courbure pour lignes coordonnées, les équations fondamen- 

 tales seront 



eu ÔUi 



^ ' I du ùu, 



?0 30, _ .p~ 



Oa, eu 



g\ pi 



E, E, sont les coefficients qui figurent dans l'expression de l'arc et -5 =:^> 



T T 



jP =r les courbures géodésiques et normales des lignes coordonnées. Les 



plans des lignes de courbure coupant la surface à 45 degrés, on aura 



e = T,0, -T,, 

 elces valeurs, substituéesdans les équations(2), réduisent les deux premièresà 



(3) ^=0, ':^=-0.. 



ou t'W, 



Pour intégrer il suffit de différentier la première par rapport à u,, la 

 deuxième par rapport à u et de sommer les résultats; ou obtiendra 



(4) ^i-s— — — 200, 



ôueut 



dont l'intégrale a été donnée par M. Liouville : 



(5) ««' = -17^ 



J,f, étant deux fonctions arbitraires, l'une de u, l'autre de //,. En condjiuant 



