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 celte dernière avec i'iine ou l'autre des équations (3), on obtiendra sans 

 difficulté les valeurs de et de 0, séparément; on a 



(6) ©--tA' 0.= ^'' 



/+/, ' / + /, 



» Substituons ces valeurs dans les équations qui forment la seconde 

 ligne des équations (2), il vient 

 (y. J_ JE _ E, _^ ^ _ E 



Si l'on élimine l'une des fonctions, E par exemple, on trouvera une équa- 

 tion aux différentielles partielles du second ordre, dont on obtient immé- 

 diatement l'intégrale; mais on peut aussi employer un artifice analogue à 

 celui qui nous a donné les intégrales des équations (3); c'est ainsi que j'ai 

 été conduit à l'équation différentielle (i), dont j'ai obtenu ensuite l'intégrale 

 en intégrant directement les équations (7), ce qui ne présente, je le répète, 

 aucune difficulté sérieuse. En laissant maintenant de côté ces calculs, je 

 vais suivre la marche la plus courte pour intégrer les équations (7). Pour 

 cela, je différentie la première par rapport à «, la deuxième par rapport à it,, 



E E 

 je retranche les résultats l'un de l'autre, et j'obtiens, en posant -7 — — =2z, 



l'équation (i), qui a pour intégrale 



Si l'on élimine entre celle-ci et les équations (7) l'une des fonctions E 

 ou E,, on obtiendra aisément la valeur de l'autre; cela conduit à 



^^' /' ~ /; ""/+/■' 



Or, puisque l'intégrale (8) s'étend à des équations différentielles d'ordre 

 plus élevé et qu'il en est de même de l'intégrale obtenue par M. Liouville, 



l'équation différentielle^ — r-^^ — ^— r— = (— i)" 2 . 3 . . . «z admettant pour 



^ LiiitCiu. . . Ou,, ^ ' ' 



intégrale z = - . _ ' ' " ' " — — - , i] y avait évidemment lieu à se demaiuler 



si les équations (3), (7) étaient susceptibles de la même extension. 

 I) Considérons le système d'équations différentielles 



10) \ 



^. =^=^^" .^3 ==^30,,..., - =.E,0„; 



