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» Ce casse i)résenlera nécessairement (Cleesch, Théorie des formes bi- 

 naires, n° 54; Gohdain, Malhemalische Annalen, t. V, p. 6oi) : 



» 1° Si i^ a, ou / > /•, 



» 1° Si l'un des exposants a, /3, y,... surpasse Z-l- 7?z + « -t-..., ou si l'un 

 (les exposants X, /j., v,. . . surpasse « -h i + c H- . . ; 



» 3° Si tous les exposants «, |3, y, ..., X, /j-, v,. . surpassent à la fois a 

 et m. 



» On en déduit cette conséquence impoitante, que les composés K non 

 superflus sont en nombre fini, puisque tous les exposants a, |3, y,.,., X, 

 p., V,... y sont limités. 



» Mais les limites ci-dessus peuvent être beaucoup resserrées. Nous al- 

 lons, en effet, établir le théorème suivant : 



» Théorème. — Le composé K sera superflu : 

 » 1° Si i^a, ouj^l; 



» 2° Si a + /3 + V 4- . , . > -; , ou X 4- /J. + V + . . > ~ — ; 



' ' A 4- 1 ' fi -h l 



» k élnnt le plus petit des deux nombres i et j. 



» Quelques-uns des exposants a, |3, y,..., X, /Ji, v,... pouvant être nuls, 

 nous admettrons, pour fixer les idées, que a et X soient nuls, mais que 

 ^ et p. soient > o. 



» Si i^a, on aura a fortiori iz.b; mais de cette dernière relation on dé- 

 duit immédiatement que K est superflu. Car les équations (2) seront satis- 

 faites en posant a' = a, p' = |3 - i, y = y, 0' = Q, i' := i— b, X' = X, 

 p! = p., v' = V 



» On voit de même que K sera superflu si / J m, et a fortiori si j ^ /. 



» Reste à considérer le cas où l'on aurait i ■< h, j <[ m, mais où 



a H- fi + 7 -I- ... serait > 7— — > ou X + a + ti + .... > -, • 



» Soit par exemple œ + /3 + 7 -1- ... > j — ; a étant nul, et m an plus 



égal à /, on aura a fortiori p + 7 + ... >> • On en déduira que K est 



superflu. 



» A cet effet, formons la suite des nombres décroissants 



P„=j3^'+7C + ..., V,={[i-i)b-h-jc+..., Po=(p-2)6+7C+ ..., 

 Fp=7C4-..., Pp+,^(7— i)c+ ..., Fp^.f+...=o. 



» Formons de même la suite décroissante 



Qu — /j.mH-v/i-f-..., Q,={ix — i)in + vn-h ..-, Qn+v+^-^o- 



