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» Retranchons de chacun des termes P,, P,, . ; cehii des termes de 

 Kl siiileQ,,, Q,. . . qui en est le pins voisin, sans toutefois lui être supé- 

 ricm-; nous obtiendrons une troisième suite 



R, = P,-Q,_...., R,^P,-Q„..., 



dont les termes seront positifs ou nuls. 



» Les nombres P,, Pj. ... formant une suite décroissante, il en sera de 

 même des nombres Q^,, Q^,, ... Donc les indices r,, r.,... formeront une 

 suite croissante. 



I) Chacun d'eux sera d'ailleurs > o. On a, en effet, 



Q„ = 5H-; = P„-/+y>P„-^' + />Po-^>P. >Pr- 



Donc Qr,, étant au plus égal à P,, sera l'un des termes de la suite Q,,Q2v; 

 donc r, sera au moins égal à i. 



» Cela posé, R,, R,,,.. seront inférieurs à m. En effet, P, étant par hy- 

 pothèse <Qr,_,, R, sera < Qr,-i — Qr,; '"^'s cette différence est l'un des 

 nombres m, n, ..., dont m est le plus grand. 



» Cela posé, le nombre |3-f-7 + ... des entiers R étant par hypothèse 

 > -j-^) et ces entiers étant < m, on pourra en trouver deux, R, et R„, 



A" + I 



dont la différence soit inférieure à A -+- i . Soit pour fixer les idées u > t, 



avec 



R, -R„=±:(?, §=o</c4-i. 



Remplaçant R, et R„ par leurs valeurs, il viendra 



P,-P„-Qr,-Qr„±5. 



Soit d'abord 5<o; on pourra poser 



(3) P,-P„ = 5', Q.,-Q.„-ô'+/', /' = o\ 



Il étant > t, 0' sera positif; mais il sera < 5; car on a 



e' = P, = P, = Po-ft<Po-i<e. 



D'autre part, on a/= 5 = K=/. Enfin, d'après la loi de formation des quan- 

 tités P et Q, P, — P„ sera évidemment de la forme a.' a ■+- ^' b -4- ■/ c H- .. , 

 où «' = o r= a, fi' < b, v'^v, ..., et Q^, - Q,,, sera de la forme 



l' l -h p.' m -\- \i' H -h ..., 



où 



X' = o = )., [x'Kp., v' = v,.... 



