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 on pourrait en introduire un plus grand nombre: j'en donnerai quelques 

 exemples relatifs à cinq courbes. 



» L'omission d'une solution étrangère se trouve aux théorèmes V et VI. 

 Dans le premier, indépendamment des i mn' solutions étrangères dont on 

 a tenu compte, il y en a encore mn' dues aux points x de L situés sur la 

 courbe U,„; de sorte que la courbe cherchée est d'ordre m [ni' -\- n'). Dans 

 le théorème VI b, la démonstration devait admettre mn' solutions étran- 

 gères dues aux points x de L qui se trouvent sur la courbe U". Dès lors 

 la courbe cherchée est d'ordre [mm' -\- mn' -^ iTin'). Elle a, à l'infini, 

 deux points multiples d'ordre un aux deux points circulaires, m points 

 multiples d'ordre n' aux m points Q de U", et mm' points simple^ causés 

 par les m' points de U" à l'infini. Par suite, dans le cas particulier VI a, 

 où m' = o, la courbe cherchée est de l'ordre {m -t- in). 



Les théorèmes qui se trouvent en double sont XII, XVII et XIX, qui 

 sont les mêmes, respectivement, que XVI, XV et XXI (*). 



)) Voici les théorèmes qui les remplacent : 



» XII. Le lieu d'un point x d'oii Ion mène à ime courbe U"' une ta7ï- 

 gente x9 égale à la distance de ce point x à un des points a oii une tan- 

 gente 6Ô' menée à une courbe U"" rencontre U,„, est une courbe de l'ordre 

 mn"(3m' + n')- 



» Établissant la correspondance entre deux points rt, a de U,„, supposée 

 unicursale, on pose 



a, n"m'2m a 



a, [2 m' -{- n') n"m a 



C'est-à-dire : D'un point <? de \i„ on mène n" tangentes «9' de U"" qui coupent U"' en 

 n" m' points S; les tangentes en ces points coupent L en n" m' points x\ le cercle décrit de 

 chaque point x, d'un rayon égal à x9, coupe TJ„i en 2in points a, ce qui fait i.mn" m' points a. 

 D'un point a on mène { 2 /«" -+- n') droites a.x égales, chacune, à une tangente .r6 (Théo- 

 rème III a) : les (2 m' +«')«" tangentes SQ' menées des points 6 coupent U,„ en [ini' -\-n') it"m 

 points fl. Il y a donc mn" (4'"' + n') coïncidences de a et a. 



» Il y a /7zm'«" solutions étrangères dues aux mm' points d'intersection 



de U,„ et U"' pris pour le pointa de U„. Il reste mn" [Zm' -+- n'). Donc^ etc. 



» Les points de la courbe situés à l'infini sont : 1° mn" m' points 



(*) Les deux premiers, XII et XVII, ont été rectifiés dans un errata, p. 4 'G; mais une 

 solution étrangère a été omise dans le nouveau XII, et le XVII s'est trouvé, sous une autre 

 notation, la reproduction du théorème XIII. Il faut donc annuler cet errata, qui va se 

 trouver remplacé ici. 



mn" ( 4 m' + n' 



