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dus aux m points a de U,„ situés à l'infini ; 2° mm' points multiples 

 d'ordre n", sur les tangentes de U"' en ses mm' points d'intersection 

 avec U,„; 3° m' points multiples d'ordre 7i"m aux m' points de U"' à l'in- 

 fini ; 4° "'"" points multiples d'ordre m sur les n'n" tangentes communes 

 à U"' et U«". 



» XVII. Le lieu d'un point x d'oii l'on mène à une courbe U"' une tan- 

 gente xQ égale à un segment Sa compris entre le point de contact et une 

 cowbe U,„, sur une tangente 00' d'une courbe U"', est une courbe de l'ordre 

 mn"(3m' + an'). 



X, n'n" m 2. u 



u, 3m«"m'(XVI) X 



mn" {3m' + zn'). 



C'est-à-dire: D'un point x de L on mène n' tangentes x9 de U"' ; des points de contact 8, 

 «' n" tangentes S9' de U"", qui coupent l]„ en n' n" m points a, et de chaque point 9 on décrit 

 un cercle de rayon 9a, qui coupe L en deux points «, ce qui fait in' n"m points u. 

 Un point u étant pris sur L, le lieu d'un point 9, d'où l'on mène à U"" une tangente 99' 

 sur laquelle U^ fait un segment 9a égal à 9k, est une courbe d'ordre "in" m, d'après le 

 théorème XVI. Cette courbe a Zmn"in' points 9 sur U"'; les tangentes en ces points 

 coupent L en Zmn" n' points x. Donc, etc. 



» La courbe a, à l'infini, deux points multiples d'ordre n'n" m aux deux 

 points circulaires ; mn" ni points doubles dus aux m points de U,„ à l'infini, 

 et m' points multiples d'ordre 2n"m aux m' points de U"'. 



)) XIX. Le lieu d'un point x d'oii l'on mène à une courbe U"' une tan- 

 gente xO égale à un segment aô' compris sur une tcmgente 00' d'une courbe U"", 

 entre son point de contact 0' et une courbe U,„, est une courbe d'ordre 



1 m ( m' m" -t- 2 m' n" -+- n' n" ). 

 X, n'n" m 2. u 



u, 2 7?t(m" + 2?i")m' [XY ou XXVIII] x 



» La courbe a, à l'infini : 1° deux points multiples d' ordre fi' n" m aux 

 deux points circulaires; 2° m' points multiples d'ordre 2n" m aux m' points 

 de U"'; 3° mm'n" points doubles sur les tangentes des points de U'" qui 

 se trouvent sur les tangentes de U"" menées des m points de U,„ situés à 

 l'infini; 4° m" mm' points doubles sur les tangentes des points où U"' est 

 coupée par les tangentes des m" points de U"" à l'infini. 



» Les théorèmes réciproques de ces trois XII, XVII, XIX, qu'il faut 

 substituer aux énoncés des n<" XXV, XXX et XXXI (p. 358 et 359), sont 

 les suivants : 



Donc, etc. 



