mn" ( 4 m' -f- n' 



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 » XV. On mène, de chaque point a. d'une courbe U,„, une tangente a9 à 

 une courbe U"', puis, du point de contact de cette tangente, une tangente QÙ' à 

 une courbe U"", et sur celle-ci on prend le point \ dont la distance au }>oinl a 

 de U,„ se trouve égale à la tangente ad : le lieu de ces points x est une courbe de 

 l'ordre mm" (3 m' + n'). [XII.] 



a:, 7i"m'm2 u 



u, {ini' 4- n') mn" ce 



» Il y a in'n"ni solutions étrangères dues aux m' points x de L, qui se 

 trouvent sur U"'. Il reste mn" {Z m' + n') coïncidences de x et u. Donc, etc, 



» XXX. On mène de chaque point a d'une courbe U„, à une courbe U"', 

 une tangente aô, et du point de contact 6 une tangente QÔ' à une courbe U""; 

 sur celte tangente on prend deux segments 6k égaux à la tangente :id : le lieu 

 des points x est une courbe de l'ordre mn"(3iu' + a n'j. [XYIIL] 



X, 11" m' mi u \ 



I . ,^ „ /,,, N mn" {"im' + 11'). Donc, etc. 



u, [m -+- ■2n)mn [\Y a) x \ ^ ' ' 



» XXXI. De chaque point a d'une courbe U^ an mène une tangente aO d'une 

 courbe U"', et du point de contact 6 une tangente 00' d'une courbe U"", sur la- 

 quelle on prend deux segments ô'x égaux à la tangente a 5 : le lieu da points x 

 est une courbe de l'ordre am ( m' m" + 2 ni'n" H- ii'n"). [XIX.] 



X, n"in'm2 



u, n {m'm"-h m'n" -+- ti'n")m (XXXVII). 



2 m [in' m" -+- 2 m' n" + n' n" ) . 



» Je passe à quelques théorèmes nouveaux qui, avec leurs réciproques, 

 compléteront les questions de lieux géométriques. Il y aura à considérer 

 ensuite les courbes enveloppes auxquelles donnent lieu les mêmes ques- 

 tions. 



» XXXVII. On mène de chaque point d'une courbe U"' tme tangente 00' 

 à une courbe U"", puis du point de contact ô' une tangente O'O" à une courbe U"'", 

 et l'on prend sur la tangente de la courbe U"', en son point 0, deux segments Ox 

 égaux à la tangente O'O" : le lieu des points x est une courbe d'ordre 

 2[(m'+ n') n"n"'+ (m"'+ n'") m' m"]. 



^ // , , '" 



Donc, etc. 



X, nn n 2 u 



«, 2{ni'm"'-hm'n"'-i-n'n"')in'{Xc) x 



« La courbe a, à l'infini : 1° deux points niulti|)les d'ordre n' n" tf aux 

 deux points circulaires; 2° ni' points multiples d'ordre 2n"n"' aux m' points 

 de U"'; 3° m" m' points multiples d'ordre 2«"' sur les tangentes de U"' aux 



