( 758 ) 



» Je me propose de traiter d'abord ces questions, parce que la démon- 

 stration directe de la classe cherchée, démonstration toujours extrêmement 

 simple, sera une nouvelle confirmation des théorèmes de lieux géomé- 

 triques déjà démontrés, ce qui ajoutera à la confiance qu'on peut avoir 

 déjà dans la sûreté et l'étendue des ressources que renferme la méthode 

 de correspondance. 



» Toutes les questions dont il s'agit ici sont de celles qui sont inacces- 

 sibles aux méthodes analytiques, comme le sont du reste la plupart des 

 questions générales concernant les courbes. Je rappellerai aussi que la 

 méthode de correspondance se peut appliquer, pour un même théorème, 

 de plusieurs manières différentes, en établissant la correspondance sur 

 une des courbes, supposée unicursale, qui se trouvent dans l'énoncé de la 

 question, soit qu'il s'agisse d'un lieu géométrique ou d'une courbe enve- 

 loppe. Cette fécondité, inhérente à la méthode, et dont on n'a d'exemple, 

 je crois, dans aucune autre, semble être un caractère de l'intimité qui existe 

 entre le théorème unique qui constitue cette méthode et la théorie gé- 

 nérale des courbes. 



» Je passe aux théorèmes qui font le sujet de celte Communication. J'in- 

 diquerai pour chaque énoncé le théorème antérieur auquel il se rapporte. 



» XLVII. De chaque point a' d'une courbe U,„, on mène une tangente a'5 

 à ime courbe \J"' et des droites a' a égales à cette tangente et ajant leurs extré- 

 mités a sur une courbe \J,„ : les droites 6n enveloppent une courbe de In classe 

 uun, (3m' + n'). [XII, p. 644]- 



IX, m' in, 2m lU 



, , ,„ niin, (km -\- n ). 



lU, m{-2m' -y- ?i')m, IX ' ^^ ^ 



^■'' )) Il y a mm' m, solutions étrangères dues aux droites IX qui passent 

 par les mm, points d'intersection de U„, et U"'. Il lesle mm, (3m' + 7i'). 

 » Donc, etc. 



i> Voici comment le throrème se peut conclure du théorème XII. D'après celui-ci, lors- 

 (lu'une droite 90', parlant d'un point 9 d'une courbe U"' et tangente à une courbe U" , 

 rencontre une courbe U,,, en un pointu, si l'on prend sur la tangente du [loint 9 un seg- 

 ment 9x é^;al ii la distance de son point -v au point a, le lieu du point x est une courbe 

 d'ordre m/i" (3 m' H- n'). Cette courbe a nm" (3"/' + n' )iii, points sur une courbe générale 

 d'ordre nit, c'est-à-dire sur une courbe quelconque d'ordre /«, indépendante des données 

 de la question. On peut donc dire, réciproquement, que si, de chaque point «' d'une 

 courbe générale d'ordre ;«,, on mène une tangente «'S de U"' et une droite a' a, terminée 

 à un point a d'une courbe U,„ et égale à la tangente «'9, il y aura iiuii,/i" {3/«' -+■ n') 

 droites o'«, tangentes à la courbe U"". Or, celle-ci est indépendante des données de 



