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 » I. Définition de l'intégrale d'une équation aux dérivées partielles, d'après 

 yji.Z,/e. — Convenons d'appeler pomd'ensemble deâ(«+i) valeurs {z,,x,,..., 

 oc„) dites coordonnées, et espace à [ji-i-i] dimensions, l'ensemble des points 

 qui correspondent à toutes les valeurs possibles de ces coordonnées. Les 

 points dont les coordonnées satisfont à i, 2, 3,..., n équations de la forme 



F(Z, X,,..., X,:) 



constituent une variété à /i, {n — i], («— 2),..., dimensions. Les points eux- 

 mêmes sont dits de dimension nulle. La variété à n dimensions, dont 

 l'équation est linéaire par rapport aux coordonnées courantes, peut être 

 appelée plan. Un plan passant par un point (2, x,,..., x,,) a pour équation 



pjX, — œ,) +... + /?„ (X„ — x„) =Z - z, 



Z, X,,...,X„ étant les coordonnées courantes. 



» Le plan passant par un point et ce point lui-même constituent un 

 élément de l'espace, déterminé par les (a/î + i) coordonnées ; 



z, X, , . ., X,i, p,^., ., Pu. 



On peut dire symboliquement que l'espace à \^n + i) dimensions contient 

 Gc*"*' éléments, et qu'une équation aux dérivées partielles 



(1) /(z, X^,...,X,„ p,,'--, Pn) =0 



est une figure qui en contient co^". 



» Intégrer cette équation, c'est trouver oo" figures contenant chacune 00" 

 de ces co^" éléments, et telles que deux éléments infiniment voisins satis- 

 fassent à la relation 



(2) dz = p, dx, -t- p.2(lxn 4- . . . + Pni^Jx,,. 



» II. Méthode générale de Cauclij'. — Soient 

 le système intégral des 2« équations simultanées 



(4) 





/,,...,y„ étant des fonctions de x„ et des valeurs initiales a-m,..., a',;_| „, 

 Zo5 Ptoi--> Pn-i,o des variables, correspondant à j:„= x„o; ces valeurs ini- 

 tiales avec p„„ sont supposées d'ailleurs satisfaire à l'équation (i). Cauchj 

 a démontré que les 00"" éléments de l'équation (i) sont représentés par les 

 équations (3). 



io3.. 



