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 » Pour déduire de ces équations (3) une intégrale de (i), il suffit de 

 grouper oo" éléments, de manière qu'ils satisfassent à l'équation (2). 

 Pour cela, supposons que jr,o. 2o?P<o soient des fonctions de («— j) nou- 

 velles variables u,,..., Un-{- Cauchy a prouvé que iéqualion (2) sera vénfiée, 

 si les valeurs initiales satisfont aux [n — i) équations 



» Or on peut satisfaire aisément aux équations (5) de trois manières 

 différentes : 



M 1° Supposons que les « soient identiques aux />„, les x^ et z^ étant des 

 constantes quelconques. On trouve, dans ce cas, une intégrale complète, si 

 l'on élimine les po entre les 7^ premières équations (3). 



» 2° Supposons les u identiques aux Xq et faisons 

 / •, Sf 



-''0 — Ç[-^ lOi • • • i '^n— 1 ,0 j» Pin — TZT ' 



o.r,D 



(f étant une fonction quelconque. On trouve ainsi une intégrale générale, en 

 éliminant les x^ entre les « premières équations (3). 



» 3° Supposons que les u soient m des valeurs initiales Xm,..., ^,,,0, et 

 [ti — i — m) des valeurs initiales )»„+,,„,..,, /j„_,_o, et faisons 



/ ^ S(i/ Su 



on tit)uve ainsi, par élimination des Uoentre les « premières équations (3), 

 une solution contenant la fonction arbitraire y et (/z — i — m) constantes 

 arbitraires J:^„, + ,,o, • . . , a^„-,,o. 



» III. Cas d'exception apparente de MM. Majer et Darboux. — 1° Sup- 

 posons que l'on prenne pour la fonction ç>, dans le second cas indiqué plus 

 haut, une fonction contenant n constantes arbitraires. Soit, par exemple, 



On trouvera une intégrale complète, contenant les constantes c, 6, ,...,/>„_, , 

 en éliminant Zg, X/^, pi^, entre les équations (6) et les n premières équa- 

 tions (3). Si l'équation (i) est homogène par rapport aux p (cas d'excep- 

 tion apparente de M. Mayer),la n'""" équation (3) se réduit à r = z„, ce qui 

 simplifie beaucoup les calculs. 



» 2° Posons, dans le troisième cas du n° II, 



!^o— '-' + ^,■30,0-^ ■■■■+• b,nX,„o, p,o= b,,.,.,p,„,= h,n. 

 On trouve une intégrale complète contenante constantes, c, b,,..., b,„, 



