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ANALYSE GÉOMÉTRIQUE. — Sur ta représentation des figures de Géométrie 

 à H dimensions par les figures corrélatives de Géométrie ordinaire; par 

 M.W. Spottiswoode. 



« 11 y a beaucoup de questions de Géométrie du plan qui ne sont que 

 des cas spéciaux de Géométrie de l'espace, et l'on arrive souvent à la dé- 

 monstration des théorèmes de Géométrie à deux dimensions, par une route 

 plus directe que toute autre, en se servant des idées de Géométrie à trois 

 dimensions. En partant de ce principe, les géomètres ont conçu l'idée, assez 

 féconde dans ses conséquences, des espaces à quatre, cinq,.. ., n dimensions. 

 Mais, comme il n'est pas possible de se figurer actuellement un tel espace, 

 j'ai cru qu'il ne serait pas sans intérêt d'en chercher quelque transforma- 

 tion, au moyen de laquelle on pourrait (à peu près comme en Géométrie 

 descriptive) en former une représentation. 



» Voici la méthode que je propose : Soit 



(i) (x, j>-,...)=o 



l'équation d'une figure quelconque dans un espace à n dimensions. Après 

 avoir partagé les variables x, j,... en deux, trois,... groupes de trois va- 

 riables chacun au plus, par exemple ^,7, i\ n, i>, w,..., j'introduis encore 

 une variable dans chaque groupe; et en ('criy-cml x'.t, /'.t,..., u'.s, v'.s,... 

 au lieu de X, 7,..., ii, v,..., et en chassant les dénominateurs, je rends 

 l'équation homogène dans les variables de chaque groupe séparément. 

 Cela posé, l'équation (i) peut s'écrire ainsi 



(2) {x,J,Z,t) {H,i',iV,s) (...) = O. 



» Sous cette forme l'équation représente pour chaque système de 

 valeurs de u : v : w : s , ... une surface (...) (x, ;•, z, t) = o; 

 pour chaque système de valeurs de x : j : z : t, . . . , une surface 



(...)(«, i>, w, s) = o, On aura, par conséquent, d'un côté une série 



multiplement infinie de surfaces ( . . .) (a;, /, z, «) = o, dont la multipli- 

 cité sera égale au nombre des variables indépendantes «, v, . . .; et de 

 l'autre, autant de séries de surfaces ou de courbes qu'il y a de groupes 

 de variables. En effet, si l'on a in -^ k{k = o, i, 2) variables dans 

 l'équation (i), on aura « groupes x, j, z, t,. , . à quatre variables (dont 



