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 Ce qui exprime que Vespace cjlindrique (c'esl-à-dire un espace dont l'équa- 

 tion ne contient que 5 — 2 = 3 variables) coupe \ espace (3) en deux plans. 

 » Or, la fonction (3), comme fonction de u^ v, w (formule 4), repré- 

 sente un nombre infini de courbes dont une correspond à chaque valeur 

 des variables x, j, z, t; et, comme fonction de x,j, z, t (formule 5), 

 elle représente un nombre infini de surfaces dont une correspond à cliaque 

 valeur des variables u, c, w; par conséquent on peut regarder la condi- 

 tion ('y) comme l'équation d'un cône, à chaque point duquel correspond 

 une paire de lignes droites. Le cône (7) est la polaire réciproque du cône 



hx\ -+■ YSj"^ -+- Cz- -I- 2 (F7-. -I- Gz,r + W.vy) = o. 



» En partant de la formule (5), et en représentant par [c], [iiu + n'v\, 

 \du} + ■îkuv -f- (?i>^] les coefficients de c, nii + 71k>, dir + 2.km<-\- ev-, 

 dans le développement du déterminant 



a h g lu -h l'v 



h b J mu 4- m'v 



g f c nu + n'v 



lu + l'i> mu + m'v nu 



(8) 



n' i> du'- + 2 kuv 



e l'- 



on trouvera pour les conditions, pour que la forme (5) puisse se résoudre 

 en deux facteurs linéaires, 



(g) [c] — - o, [nu + «'<'] ■= o, \du- -+- ikm' + et'-] = o; 



c'est-à-dire 



(.0) 



=: O. 



(«). (/3j> (y)- 



>) Au moyen de l'équation (|3) on peut éliminer u: c de l'équation (a), 

 et, par conséquent, les coefficients de (3) doivent satisfaire à deux condi- 

 tion?, savoir (10, y) et celle qui résulte de l'éliminatiou de u'.v de (10, a). 

 Or, on peut s'assurer, ou au moyen de l'élimination ou en combinant les 

 quantités (9) ainsi : 



[c] [du- + 2kuu + ev-] — [nu -h n'vf. 



