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 l'aire du triangle sphériqiie dont il s'agit, l'expression de cette aire est 

 donnée par la relation 



(0 A'^ 2rt - ((p„+ f, -t- çjo); 



si l'on prend successivement les variations de Jl, par rapport aux para- 

 mètres fjç,, p,, p2, on aura les trois équations contenues dans le type 

 suivant : 



, , dA, f df drft df\ , r^, 



^ ' dif \<-/(7„ d-jf d<j„) 



et qui s'en déduisent parla rotation simultanée des indices. 



» Or nous avons trouvé les variations des angles coordonnés en fonc- 

 tion des courbures géodésiques inclinées des arcs coordonnés, de sorte 



que, si l'on représente généralement par le symbole j-^ la courbure incli- 

 née de l'arc da, suivant l'arc da^ et projetée sur le plan tangent à la sur- 

 face (5o) o" a? d'après nos équations (i4) et (i5), première partie, les deux 

 types suivants : 



:3) 



da„ I I 



d(f„ I I 



da L""' L'°' ' 



;6) 



(3) 



qui donnent : le premier, six équations, et le second, trois. Si, au moyen 

 de ces équations, on élimine les variations des angles contenues dans 

 l'équation (2), on aura les trois équations contenues dans le type suivant : 



"" -^20 -^lO "^00 ■^■JU -^10 -^OO 



» Si l'on remarque que chaque ligne coordonnée a trois courbures in- 

 clinées : la première, inclinée suivant la tangente à celle ligne; les deux 

 autres, inclinées suivant les tangentes aux deux autres lignes coordonnées; 

 que, de plus, si A est constant, sa variation est nulle, on obtient la propo- 

 sition suivante : 



)) Théorème. — Etant donné un s/slème de surfaces coordonnées tel, qu'en 

 un point quelconque pris pour centre d'une sphère de rayon constant, les nor- 

 males à ces surfaces déterminent sur cette sphère les trois sommets d'un triangle 

 sphérique d'aire constante, ce système jouit de celte propriété que, si l'on prend 

 les trois courbures d'un arc coordonné el qu'on projette chacune sur les plans 

 tangents aux deux surfaces qui contiennent l'arc d'inclinaison, la somme de ces 

 six projections sera nulle. 



