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 » 1° Il convient maintenant d'exprimer chacune des dix-htiit courbures 

 qui entrent dans les seconds membres des équations (4), en fonction des 

 variations des arcs coordonnés; or nous avons déjà donné, dans notre 

 Théorie des coordonnées curvilignes (première partie), l'expression de douze 

 de ces courbures, qui sont fournies par les deux types suivants : 



(6) ±i^^ = d,^{cia,cos^..)-d,^{da„), (6) 



(7) '-^^^^ = d,da,-cos<p,d,^{da,), (6) 



qui donnent l'une et l'autre six relations. Nous sommes arrivé depuis à ex- 

 primer aussi les six dernières courbures en fonction des variations des 

 mêmes arcs coordonnés. Ces courbures sont fournies par les six équations 

 contenues dans le type suivant : 



1 2 <7,r<T,^o,siny, _ J ^Jç^ ^(y_^ ç.og^ J — Wp,(f/ffo ds, COS^j)) 



de sorte que, si l'on élimine les dix-huit courbures dont il s'agit des équa- 

 tions (4) au moyen des équations (6), (7), (8), et qu'on représente par H^^ 

 H,, Ho les paramètres différentiels du premier ordre des arcs coordonnés, 

 et par G^, G,, G2 les paramètres relatifs aux angles, on pourra poser, 

 ds étant le déplacement d'un point dans l'espace, la relation 



(5) ds^ = }ildp^+lildpl+llldpl + 2{Gldp,dp, + G^,dp.dp,+ Gldp,dp,), 



et l'on obtiendra l'équation de condition (4) sous l'une des formes sui- 

 vantes : 



\ ZisinyiL ''^po\H»/ HH, dp, j j 



en remarquant que le signe 2 s'étend à toutes les valeurs que prend l'ex- 

 pression placée sous ce signe par la rotation simultanée des indices, à l'ex- 

 ception de celui qui se rapporte à la différentialion, 



» Comme ces dernières équations sont intuitives, elles servent de vérifi- 

 cation à toutes celles qui précèdent. 



C.R., 187J, 1' Semeslic. (1, LXXXI, NoSl.j I 26 



