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 point multiple d'ordre Ji' sur la droite D, et n' points simples, appartenant 

 aux tangentes des pieds des normales de U"' menées du point de D à l'infini. 



» III h. Le lieu crun point x d'où l on mène à une courbe U" une normale xn 

 égale à la distance du point x à im point O est une courbe de l'ordre (a m + n). 



^ ' 3 m -h n. 



H, 2m X 



C'est-à-dire : D'un point j; de L on abaisse [m + n) normales .rTr, et l'on prend sur L les 

 [m -\-n) points u qui sont à égale distance du point O et de chaque point tt. D'un point u 

 on décrit un cercle de rayon uû, qui coupe U" en im points tt ; les normales en ces points 

 coupent L en 2 m point x. Donc 3 m -h n coïncidences de x et a. 



•■ Il y a m solutions étrangères dues au point x de L situé à l'infini. Il 

 reste im + n. Donc, etc. 



I) La courbe a, à l'infini, m points doubles situés aux m points de U"; 

 et n points simples sur les perpendiculaires aux n tangentes menées du 

 point O à la courbe U". 



» III c. Le lieu d'un point X, d'où l'on mène à une courbe Ij" une normale 

 X 71, et à une courbe U"' une tangente %6 égale à la normale, est une courbe de 

 l'ordre 2uim' i- 2mn'+ 2m'n + nn'. 



X, [m -+- n)2m' u 

 u, n'iam ~h n) x 



2mm -h 2mn + 2m n -\- nn 



C'est-à-dire : D'un point .r on mène [m + n] normales de U" ; les cercles décrits de ce 

 point et de rayons égaux aux normales coupent U"' en 2 m' (m -i- n) points 6; les tangentes 

 en ces points coupent L en 2m' {m -+- n) points u. D'un point u on mène n' tangentes uB 

 de U"' ; d'après le théorème précédent, chaque point de contact donne lieu à (2.m+n) 

 points X d'où l'on mène une normale xit égaie à xO, ce qui fait n' (2 w -f- « ) points x. Il y 

 a donc im' [m -h n) + «' ( 2 /« + n) coïncidences de x et u. Donc, etc. 



» La courbe a, à l'infini, n'[m -\- n) points sur les normales de U" qui 

 sont tangentes à U"' ; mn' sur les tangentes de U"' aux pieds des normales 

 de cette courbe parallèles aux m asymptotes de U", et enfin m' points 

 multiples d'ordre (am-i- n) aux m' points de U". 



» IV a. Le lieu d'un point doit ion mène à une courbe U" une normale 

 égale à la distance du point à une droite D, est une courbe de l'ordre 2 m -f- a n. 



I) En d'autres termes : Le lieu des centres des cercles tangents à une courbe 

 TJ" et à une droite est une courbe de l'ordre 2 m 4- 2n. 



X, [m -h fi]2 u 

 II, 2m -h II X 



l\m -(-3/2. 



i3o. 



