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)) 11 y a 2in -\- n solutions étrangères dues au point x de L à l'infini. Il 

 reste -un -\- 2n. Donc, etc. 



» La courbe a 2« -i- 2111 points sur la droite D : 1° in points sur les tan- 

 gentes menées des deux points circulaires de l'infini à U'', caria normale ^;r 

 est nulle, et le point x est sur la droite D; 2° m points qui sont les m points 

 de U" sur la droite D; 3° un point uiulti|ile d'ordre m à l'infini. En effet 

 du point a de D sur A on abaisse une normale an; le cercle décrit de ce 

 point avec le rayon an infini est l'ensemble de deux droites coïncidentes 

 avec A qui coupent D en deux points coïncidant en a; ce cercle satisfait 

 donc à la condition d'être tangent. 



)) La courbe a, à l'infini : i" deux points multiples d'ordre n aux deux 

 points circulaires; car, la normale xQ a telle valeur que l'on veut, et par 

 conséquent est égale à la normale xa; 2.° un point multiple d'ordre m au 

 pointa de U"; 3° m points tt aux m points de U", car d'un de ces points on 

 abaisse la normale ?:« sur D; le cercle décrit du rayon na est l'ensemble 

 de deux droites coïncidant avec A, lesquelles coupent L" en deux points 

 coïncidant avec n; ce cercle a donc avec U" deux points coïncidant avec n, 

 et par conséquent satisfait à la condition d'être tangent à U"; n est donc 

 un point de la courbe cherchée. 



» ly b. Le lieu cVun point d'oii l'on mène à deux courbes U", JJ'" deux 

 normales égales est une courbe de l'ordre 2ium' ■+- 2mn'-\- am'n + nn'. 



» En d'autres termes : Le lieu des centres des cercles tangents à deux courbes 

 tl"jU'" est une courbe d'ordre 2mm'+ amn'-H 2m'n + nn'. 



X, [m + II) 2m' H 



u, [nï -h n']{2in -hn) x 



l^mm' -\- 3m'n -+■ -imn'-i- nn'. 



M II y a 2mm' -t- nm' solutions étrangères dues au point x de D situé 

 sur la droite de l'infini. Il reste 2 mm' -h 2m' n -+- imn' + nn' . Donc, etc. 



» V. Le lieu d'un point d'oii l'on mène à une courbe U" une normale égale à 

 une tangente menée du pied de la normale à une courbe U"' est une courbe de 

 l'ordre 2(mm' + mn' + nn'). 



X, (m-hn)n'2 u , -, , , 



' ; ' 2 mm -\- 5 mn + 2 nn . 



u, [im -{-n )m x 



» Il y a mn' solutions étrangères dues au point x à l'infini. Il reste 

 2Hi»i'+ 2mn' + 2nn'. Donc, etc. 



» La courbe a, à l'infini, deux points multiples d'ordre nn' aux deux 

 points circulaires; m points multiples d'ordre in' aux m points de U", 



