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 et mm' points doubles sur les uormales des mm' points de U" qui se trouvent 

 sur les m' asymptotes de U"'. 



» VI. Le lieu d'un point d'oii l'on mène à une courbe U" une tangente égale 

 à une normale abaissée du point de conctact sur une courbe U"' est une courbe de 

 l'ordre 2 mm' -\- mn' + 2m'n -4- ann'. 



2mm -H mn + 2m n-h 2nn . 



30, n[m -{- 71)2 u 

 u, [2jn' -hn')m x 



» La courbe a, à l'infini, deux points multiples d'ordre «(/»'+ n'j aux 

 deux points circulaires, er/w points multiples d'ordre 2 m! -t- ri aux m points 

 de U". 



» VII. Si, sur la normale en chaque point n d'une courbe U", on prend deux 

 segments nx égaux à chacpte normale nn' menée du poitit-Tt à une courbe U"', 

 le lieu despoints x est une courbe de l'ordre 2(mm' -+- uni' -+- m'n -t- nn'). 

 X, [m +n)[m' -\- 7i')2 u 

 u, [2 m' + 7i')m[\\la) X 



» II y a m[2m' -+- ri) solutions étrangères dues au point x de L sur la 

 droite de l'infini. 11 reste 2[mm' -{- mri -h i7i' 71 -h 7iti'). Donc, etc. 



» La courbe a, à l'infini, deux points multiples d'ordre 7i[m' -\- 71') aux 

 deux points circulaires, et m points multiples d'ordre 2[m' -\- 71') aux m 

 points de U". 



» VIII. Si, sur la normale en chaque point n d'une courbe U"', on prend un seg- 

 ment 71 X égal à chaque segment nu fait sur cette normale par une courbe U,„, 

 le lieu des points x est une courbe de l'ordre m ( m' -f- n'). 



l\mm' +■ Zmri + 2i)Ï7i -f- 271/1' . 



m ( 4 iri -^ l\ri) 



X, [m + ri) m 2 u 

 M, [m' -\- 2ri)m X 



C'esl-à-dire : D'un point x de L on abaisse (/«' -1- n' ) normales xtt qui rencontrent Um en 

 m[ni + n') points a; et de leurs pieds tt on décrit des cercles de rayons iza qui cou- 

 pent L chacun en deux points u ; ce qui fait 2 m (m' -+- n') points u. Un point u étant j)ris, 

 si sur la normale en chaque point t: de U"' on prend un segment Tza égal à izu, le lieu des 

 points a est une courbe d'ordre 7.m' + in' (théorème V) ; donc (2/// + i.n')m points a se 

 trouvent sur Um et les normales coupent L en des points x. Ce qui fait m[[\ni' -\- l^n ), 

 coïncidences de .r et u. 



» Il y a des solutions étrangères de trois sortes : 1° 2mrri dues au 

 point X de L à l'infini ; 2" 2mi}! dues aux points x situés sur les normales 

 issues des deux points circulaires de l'infini; 3° m{m' -h ri) dues aux 

 m points x situés sur la courbe U,„. Doue ^miri -h 317171' solutions étran- 

 gères. U reste m{m' -+- 71' \. Donc, etc. 



