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 courbe ou la surface en p points coïncidents. Par conséquent, si m est 

 l'ordre de la courbe ou de la surface, une droite quelconque, passant par 

 un point multiple d'ordre p, ne reiiconirora cette courbe ou celle surface 

 qu'en [m — p) points distincts du point considéré. 



I. — Exposition de la méthode. 



» Dans le Mémoire « Sur la détermination, sans calcul, de l'ordre d'un 

 lieu géométrique », nous avons montré que le problème de la détermination 

 des points communs à une droite arbitraire A et à un iieu géométrique défini 

 par la variation de A" courbes ou surfaces A,, A,,..., A,,,.., A^, revient à cette 

 question fondamentale : 



)) Une droite contient k séries de points S,, Sj,.--! S,,.. , Sy^, dont la liaison 

 est telle que, à k — i points arbitraires P,, P2!..., P,-i, P,+iv5 t*A» considérés 

 comme appartenant respectivement aux k — i séries S,, So,. ., S,_|, S,^.,,..., 

 S/,, il corresponde, pour la série restante S,-, un nombre constant de points a,. 

 On demande de trouver le nombre N de points V, situes à une distance finie, tels 

 que, supposant confondus en l'un d'eux les k — i points arbitraires, ce point 

 coïncide avec l un des points correspondants de la série restante. 



)> D'après cela, trouver l'ordre de uudiiplicité d'un point O, appartenant 

 à un lieu géométrique donné, revient à trouver le nombre N' indiquant 

 pour combien de points le point O doit être compté dans le nombre N, re- 

 lativement à une droite arbitraire issue de ce point. 



» Ce problème a une solution très-simple dans le cas particulier où les 

 séries sont telles que, étant supposés à une distance /ï/n'e ou nulle du point O, 

 les A- — I points P, , P;,-') Pi-n Pr+iv) ^^i '' y -''t, parmi les points cor- 

 respondants de la série restantes,, le même nombre /,• de ces points con- 

 fondus avec le point O. 



» Dans ce cas, en effet, si l'on désigne parp,, po,..., /5,,..., p* les distances 

 des points P,, Po,..., P,-,..., P* au point O, on a nécessairement entre ces 

 variables une relation de la forme 



(0 p','f''^pi'---p't-^ ?{Pn P2, p3v, p/.) X p','p'ip[''-- pk^O, 



dans laquelle les plus petits exposants de ces variables sont respectivement 



(i) Pour mieux préciser, nous allons démontrer ce théorème pour le cas de deux séries 

 «le points, faisant rcmanjucr que la démonstration s'étend d'clle-n)cme au cas général : 



1° Les plus petits exposants de p,, p, doivent être respectivement /,, /,, sinon, pour toutes 

 les valeurs finies de p, ou p,, il n'y aurait pas /, ou /, valetirs nulles de p, ou p,. Pour le 



