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 /,, A., /j,..., /,-,.., //,, et qui contient nécessairement comme facteur le 



terme p''p',^p[\..p['. 



» Si donc on fait 



pi — pi = p3 —■■•= Pi, = p, 



on obtient 



N'= p, -h p., + p3 +...-(- Pa. 



» De là ce théorème, complément capital du principe de correspondance 

 entre k séries de points : 



)) Une droite contient un point O et k séries de points S,, Sj,..., S,,.,., S/^, 

 dont la liaison présente ta particulaiité que, prenant arbitrairenient^à une dis- 

 tance finie ou nulle du point O, k — i points, P,,?™,..., P,_i, P,>,,.'i Pa> con- 

 sidérés comme appartenant respectivement aux k — i séries S,, Sj,..., S,_,, 

 S,^.|, .., Sa, il _/ ait, parmi les points correspondants de la série restante S,-, im 

 nombre constant de points li qui sont confondus avec le point O. /// a W points, 

 parmi les N points de coïncidence, qui sont confondus avec le point O, N' étant 

 déterminé par la formule 



W = l, K/, + /3 + ...-)-/,. 



II. — Applications céométi\iques. 



" Problème I. — Un même point O est commun à deux faisceaux de courbes 

 A,, A2, d'ordres /«,, Wj; on considère une courbe auxiliaire 1, d'ordre p; on 

 prend un point i\I sur cette courbe, et l'on considère les courbes (A, M), (AjM); 

 on demande l'ordre de multiplicité du point O dans le lieu décrit par leur in- 

 tersection, lorsque le point M décrit 1. 



» Cherchons les points du lieu situés sur une droite arbitraire A issue 

 du point O. Pour cela, prenons à volonté sur celte droite un point P,, et 

 considérons la courbe (A,P,); elle coupe 1 en ^/?2, points; à chacun de 

 ces points, correspond une courbe A,, et ces courbes A, coupent elles- 

 mêmes A en pm, m^ points Pj, dont/»/», sont confondus avec le point O; 



même molif, tout coefficient de p, doit contenir p^ avec un exposant au moins égal à li, et 

 tout coefficient de pj doit contenir p, avec un exposant iui moins égal à /,. 

 1" Tous les termes ayant l'une des trois formes 



"Pifs Pi ' -PiPjf'2 ' -"Pi Pi P. Pj > 



la plus petite valeur de w, doit être égale à zéro ; car, si elle était égale à m\ , en divisant tous 

 les termes par ft^-, et faisant tendre pj vers zéro, on aurait l, 4- m\ racines nulles pour p„ 

 alors que, par hypothèse, il ne doit y en avoir toujours que /,; donc le terme p\' p'^ existe. 



C.R., 1S25, '/ Semestre. (T. LXXXI, N» 22.) T-^'J 



