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 d'ailleurs ce nombre pm^ ne change pas si le point P, se confond avec le 

 point O, c'est-à-dire si la courbe (A, P, ) est tangente au point O à A; donc 

 à un point P, , pris à une distance finie on nulle du point O, correspond tou- 

 jours le même nombre pm, de points Pj confondus avec O, et, comme de 

 même à un point Po, pris à une distance finie ou nu//e du point O, corres- 

 pondent toujours /;/;22 points P, confondus avec O, on voit que, en vertu 

 du théorème complémentaire du principe de correspondance, le point O 

 est un point multiple d'ordre pm, + pin^ = p{in, -h m^). 



M Problème II. — Un même poinl O est commun à trois faisceaux de surfaces 

 A,, Aj, A3, d'ordres m,, m^, '«3 ; on considère une surface auxiliaire 1, d'ordre p; 

 on prend un point M sur cette surface, et l'on considère les surfaces (A, M), 

 (A2 M), (A3 M); on demande l'ordre de midtiplicité du point O dans le lieu dé- 

 crit par leurs points d'intersection, lorsque le point M décrit 1. 



» On trouve immédiatement 



N'= p[m, m^ + rrinnig + m^ »j,). » 



ALGÈBRE. — Sur la discussion des équations du premier degré. 

 Note de M. E. Rouché. 



« La discussion du système de n équations linéaires à n inconnues n'a 

 encore été traitée complètement que dans le cas où les seconds membres 

 sont nuls. On peut, il est vrai, ramener à ce cas, par l'introduction d'une 

 nouvelle inconnue, celui où les seconds membres sont différents de zéro; 

 mais, pour résoudre ainsi la question, au lieu de l'éluder, il faudrait alors 

 ajouter, à la discussion proprement dite du système homogène, l'étude des 

 solutions de ce système qui répondent aux singularités des équations pri- 

 mitives. Or cette recherche auxiliaire offre, au fond, la même difficulté que 

 la discussion directe du système primitif. 



» Nous nous proposons ici de faire connaître un théorème qui renferme 

 toute la discussion du cas général. 



» Soient les n équations à n inconnues x,,. . ., x„ : 



!a,,x\ + a,iX.-h.. .-h rt,„.r„= rt,(,, 

 ao,X, -h «05X0 + . . .+ rt2„.î'„= «20. 

 5 

 «Hi X) + (liii'^a "T" • t . -f- fl,i„X,i = (l/io' 



Désignons : 



» 1° Par D, le déterminant du système, c'est-à-dire le déterminant formé 

 avec les coefficients des inconnues; 



