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est égal à la somme de ceux qu'on en déduit, en substituant à la première 

 verticale cliacune des n -+- i verticales partielles qui la composent. Or les 

 p premiers déterminants partiels sont nuls, comme égaux au produit de 

 l'une des quantités x,,..., x„ par l'un des mineurs d'ordre Ji — p -+- i de 

 D ; les n — p déterminants partiels suivants sont aussi nuls, puisque chacun 

 d'eux a deux verticales à éléments proportionnels. Le déterminant ci-dessus 

 se réduit donc au déterminant (3) changé de signe; mais, pour toutes les 

 valeurs de x,,..., x„ qui satisfont aux n — p dernières équations (i), tous 

 les éléments de la première verticale dans (5) s'évanouissent, à l'exception 

 du premier; pour ces valeurs, le produit 



est donc égal au déterminant (4). On voit par là : i° que les p premières 

 équations (i) sont incompatibles avec les n — p dernières, à moins que le 

 déterminant (4) soit nul pour z — i, 2,...,/j; a" que si celte condition est 

 remplie, les p premières équations (r)sont superflues. 



» En ne considérant alors que les» — /; dernières et attribuant à x,,.. ., 

 jCp des valeurs arbitraires, nous aurons n — p équations k n — p inconnues 

 Xp+,,..., x„ dont le déterminant est A"*'. Comme ce déterminant n'est pas 

 nu!, il en résultera pour .r^+i,..., x„ des valeurs données par la formule 



où ô'P* désigne le déterminant qu'on déduit de A''', en substituant aux élé- 

 ments de la k'""" verticale les quantités 



du n d„ifVt 



il ne reste plus alors, pour mettre la formule précédente sous la forme (4), 

 qu'à décomposer ù^''^ en p -h i déterminants partiels correspondant aux 

 verticales simples dont la A'""' verticale se compose. 



» Ce théorème contient, comme nous l'avons annoncé, toute la discus- 

 sion, dont on aura les divers cas en donnant successivement à p les va- 

 leurs 1,2,3,.... 



» Enfin, lorsque les seconds membres seront nuls, on retrouvera les 

 résultats connus. T^a première verticale du déterminant (4) ayant alors 

 tous ses éléments égaux à zéro, le déterminant sera nul, en sorte que les 

 c;is d'impossibilité disparaîtront, et il ne testera que les seuls cas d'indéter- 

 mination. » 



