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GÉOMÉTRIE. — Sur les points d'une courbe on d'une surface, qui satisfont à 

 une condition exprimée par une équation dijférentielle ou aux dérivées par- 

 tielles. Note de M. Halphen. 



« J'ai rhonnenr de coinmniiiquer à l'Académie quelques résultats con- 

 cernant une question dont la Géométrie offre de nombreux exemples. 

 Voici l'énoncé du problème : .Sur U7ie courbe plane ou une surface U de 

 degré m, on considère les points qiù satisfont à une condition exprimée par une 

 équation différentielle on aux dérivées j)ariielles algébrique. Ces points sont, 

 comme on sait, les intersections de U et d'une autre courbe ou surjace algé- 

 brique^. On demande le degré de cette dernière. Ce problème se généralise 

 sous la forme algébrique suivante : 



» Soit U (x, , . . . , a7( , j ) = o une équation de degré m, défnissant la fonction 

 y des variables indépendantes X,,..., JC;,. On considère une équation aux déri- 

 vées partielles algébrique J= o. Les sjstèmes de valeurs des variables, pour 

 lesquels la fonction y satisfait à l'équation f= o, sont, comme on sait, définis 

 par l'équation \] ^^ o et une seconde équation algébrique $ (x,,...,;r^, ^) = o. 

 0(1 demande le degré de cette dernière. 



» Four former l'équation 4> = o, le procédé théorique est fort simple. 

 On tire les dérivées de^ de l'équation U = o, et l'on substitue leurs ex- 

 pressions dansy =^ o. Le résultat delà substitution est l'équation cherchée. 

 Ce calcul, presque impraticable dans la plupart des cas, n'est pas néces- 

 saire quand on se propose simplement de trouver le degré de <P. 

 C'est à la détermination directe de ce degré que se rapportent les résultats 

 suivants : 



» Théorème I. — Le degré de l'équation $=o est de laforme aijn— i) + ^, 

 les coefficients a et ^ étant des nombres entiers, le premier positif, le second 

 positif ou négatif qui ne dépendent que de l'équation aux dérivées jKirtielles. 



» On voit que le problème est ramené à la recherche des coefficients «. |3,. 

 C'est à cette question, où intervient seulement l'équation aux dérivées par- 

 tielles, que se rapportent les énoncés suivants : 



» Théorème II. — Soit J z^ o une équation aux dérivées partielles algé- 

 brique, mise sous forme entière. On prerul de nouvelles variables indépen- 



danles t,,..., t/,, et l'on r^emplace x ,,..., x^, j par -^i- ■• ■,'-■,-• Soit F = o l'é- 

 quation transformée, mise également sous forme entière. On a identiquement 



(>) >=^.P' 



