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relation dans laquelle A est le déterminant \ ± C -r- — > • • > — 5 et dans la- 

 ^ ^d ^ dt, dt, dtk 



quelle aussi ael ^ sont les coefficienis qui figurent au iltéorème I. 



» Voici maintenant une autre proposition qui ne s'applique qu'au cas 

 d'une seule variable indépendante, c'est-à-dire aux problèmes de Géomé- 

 trie plane, et qui donne lieu à un calcul très-rapide. 



» Théorème III. — SoitJ= o une équation différentielle algébrique entre 

 la variable indépendante x et la fonction y ; celle équation étant supposée mise 

 sous forme entière : 



» 1° Substituez dans f à y un développement suivant les puissances en- 



Hères et ascendantes de (x — |)^, commençant par une constante, et dans le- 

 quel les coefficients et la constante | soient indéterminés. Ordonnez le résultat 



- 

 delà substitution suivant les mêmes puissances. L'exposantde (x — |)*, dans te 



premier terme, est égal et de signe contraire au coefficient a ; 



» a° Substituez dans f à jr un développement suivant les puissances entières 

 et descendantes de x, commençant par un terme du premier degré et à coeffi- 

 cients indéterminés. Ordonnez le résidtal suivant les menées puissances. L'expo- 

 sant de X, dans le premier terme , est égal au coefficient |3. 



)) Dans un cas particulièrement remarquable, les coefficients a et p 

 s'obtiennent sans auciui calcul. C'est le cas où l'équation considérée n'est 

 pas altérée par les transformations homographiques. 



» Théorème IV, — Soitf= o une équation algébrique aux dérivées par- 

 tielles entre la fonction y et les k variables indépendantes x,, .,., x^, qui reste 

 inaltérée par toute transformation homographique : 



» i" Celle équation étant mise sous forme entière , f est un invariant homo- 

 gène des formes simultanées VjVs, ..., définies par les relations 



1.2, ... iY, = (Ç. 1- + ... + ^, è)*"-^'' ^' = ^' ^' •••)' 

 où Ç, , ...,1a sont les variables de ces formes ; 



» 2° Soient p elâ le poids el le degré de cet invariant; on a 



oc = p -\- à, a — ^ = {k -\- i) p. 

 » D'où résulte, pour le degré de $, 



M = (p + a) /M -(A- +2)/?. 



1) Pour le cas d'une seule variable indépendante, les formes V dispa- 

 raissent. Le théorème IV subsiste cependant, en ce sens que y^ est homo- 



