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GÉOMÉTRIE APPLIQUÉE A l'algèbrE. — Exposé dune nouvelle méthode pour la 

 résolution des équations numériques de tous les degrés [i" Partie); par 

 M. L. Lalanne. 



(Commissaires : MM. Hermite, Puiseux, de la Gournerie.) 



« La résolution des équations numériques n'a jamais cessé d'attirer l'at- 

 tention des géomètres. Il suffit de rappeler, à l'appui de cette assertion, 

 l'accueil bien veillant que l'Académie a fait, à diverses reprises, à des méthodes 

 qui avaient pour but de faciliter, au moins pour certaines classes d'équa- 

 tions, la détermination des racines réelles, résultat final auquel se réduit, 

 en dernière analyse, comme l'a dit Lagrange, la solution de tout problème 

 déterminé. C'est qu'en effet, malgré la rigueur théorique des belles mé- 

 thodes créées à plus d'un demi-siècle d'intervalle, l'une par Lagrange, 

 l'autre par Sturm, les applications numériques sont trop souvent à peu près 

 impossibles ou au moins d'une longueur rebutante. Aussi l'illustre Cauchy, 

 qui lui-même avait notablement enrichi la théorie des équations, n'avait-il 

 pas dédaigné de s'occuper des premières Communications que nous faisions 

 à l'Académie, et d'en rendre compte, la première fois, au sujet d'une ba- 

 lance, disposée de manière à résoudre, par la détermination des positions 

 d'équilibre, les équations des sept preuiiers degrés; la seconde fois, au 

 sujet d'une nouvelle méthode de calcul graphique qui, parmi ses applica- 

 tions, compte l'établissement d'une sorte de plan à lignes de niveau cotées, 

 d'un abaque disposé pour la résolution numérique de toutes les équations 

 du troisième degré et ne comportant que l'emploi de lignes droites. (Voir 

 les Rapports de M. Cauchy, Comptes rendus, t. XI, p. 959 et t. XVII, p. 492). 



)) C'est dans la voie qu'ouvrait la géométrie topograptiique, objet de notre 

 Communication de i843, que nous avons trouvé depuis longtemps le prin- 

 cipe de la solution très-simple que nous avons l'honneur de soumettre à 

 l'Académie ; nous estimant heureux si elle y voit une confirmation nouvelle 

 du jugement porté par M. Cauchy, alors que, organe de la Commission dont 

 MM. Elie de Beaumont et Lamé faisaient aussi partie, ce grand géomètre 

 « eu égard aux nombreuses applications que l'on peut faire des principes 

 qui s'y trouvent exposés », accordait à notre IMémoire, avec l'assentiment de 

 l'Académie, l'honneur de l'insertion dans le Recueil des Savants étrangers. 



» Soit z" -+■ oz"-'- -+- bz"~' -f- . . . -I- mz^ -\- pz -\- q = o une équation 

 numérique de degré n, que, pour simplifier, nous supposons privée de son 

 second terme, et préparée de manière que toutes les racines réelles et tous 

 les coefficients soient moindres que l'unité. 



