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 avons établi pour cette solution (\o\r Annales des Ponts et Chaussées, i" sem. 

 1846). Toutes les droites représentées par l'équation z^ -h xz -+- j =1 o, 

 lorsqu'on y fait varier z entre + i et ~ i, ont pour enveloppe une courbe 

 (développée de parabole) dont l'équation est /jo:' + 3'jj- = o. A l'intérieur 

 de toute la portion du plan occupée par cette courbe (4/>' + 279- < o), 

 il y a trois cours de lignes droites qui s'entre-croisent, trois séries de rotes 

 différentes qui correspondent à autant de racines réelles; à l'extérieur, au 

 contraire (4/>^ + 277- >o), il n'y a plus qu'un cours de lignes droites, 

 qu'une série de cotes, qu'une racine réelle. 



» On voit donc que, par la vertu même de la construction de ces lignes 

 droites successives, les faisceaux qui correspondent à des racines différentes 

 se distinguent les uns des autres et donnent les racines avec une sorte de 

 séparation spontanée, automatique, pour ainsi dire, qui paraît l'un des 

 caractères spécifiques de la méthode. 



)) Il est du reste facile de voir que l'équation de la courbe enveloppe de 

 toutes ces droites s'obtient en égalant à zéro le résultat de l'élimination 

 de z entre le premier membre de l'équation en x,j, z et sa dérivée prise 

 par rapport à z. Ce résultat de l'élimination, qui ne renferme plus que les 

 coefficients numériques de la proposée, n'est autre que le terme tout connu 

 de l'équation aux carrés des différences, terme désigné sous le nom de dis- 

 criminant dans l'Algèbre moderne. En substituant dans ce discriminant les 

 lettres x et j aux deux coefficients que l'on a pris pour variables dans la 

 proposée, puis égalant à zéro, on a donc l'équation de la courbe enve- 

 loppe. On sait que cette courbe est l'expression de la solution particulière 

 dont le premier membre de l'équation en j:,/, z est Vintécjrale générale; il 

 est facile de démontrer qu'elle est, en outre, la projection de la ligne de 

 striction tracée sur le conoïde déterminé par l'équation, lieu géométrique 

 remarquable, signalé par Monge et dont M. Chasles aussi s'est occupé. 

 {Correspondance de Qaetelet, t. XI. ) 



» Tel est le premier aperçu de la méthode, conséquence immédiate et 

 développement de celle qui nous avait conduit en i843 à la solution com- 

 plète des équations trinômes et en particulier de l'équation du troisième 

 degré. Nous l'avons appliquée à quelques exemples et nous serons bientôt 

 en mesure de mettre sous les yeux de l'Académie les épures qui ont été 

 construites pour des équations de degrés supérieurs. Les développements 

 que ce nouveau genre de solution com|)orte, les rapprochements qu'on 

 peut entrevoir entre les résultats de ces constructions linéaires et ceux qui 

 dérivent d'autres méthodes appartenant à l'Algèbre pure, doivent être au 

 moins indiqués. Ils seront l'objet d'une prochaine Communication. » 



