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j) 2. Tous les résultats possibles de la discussion sont renfermés dans les 

 trois énoncés suivants qui exigent que le système proposé ait été préalable- 

 ment réduit, c'est-à-dire ramené à ne contenir aucune équation dont les 

 coefficients soient tous nuls ou exprimables par une même fonction linéaire 

 et homogène des coelficienls des termes semblables dans quelques autres 

 équations. 



» I. Tout système réduit surabondant [oie le nombre m des équations surpasse 

 le nombre ii des inconnues) est impossible. 



» II. Un sjslème réduit complet (où ni = n) est impossible si le déternnnant 

 des coefficients des inconnues se réduit à zéro. Il est possible et déterminé dans 

 le cas contraire. 



» III. Un système réduit incomplet (où m •< n) est impossible si les 

 -^ LlJ-!S 1 déterminants du j?i""™« ordre que l'on obtient en associant 



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m à m, de toutes les manières possibles, les n colonnes de coeftivients des incon- 

 nues dans les équations proposées, se réduisent tous à zéro. 



» Au contraire, le système proposé est possible si l'im au moins de ces dé- 

 terminants 7ï'estpas nul; il est alors indéterminé, et cela dans ime mesure telle, 

 qu'à chacun de ces déterminants d'ordre m non égaux à zéro correspond un 

 groupe de ni inconnues dont les valeurs s'expriment linéairement en fonction 

 des n — ni autres qui, elles, restent absolument indéterminées. 



T> 3. La réduction d'un système quelconque d'équations linéaires à n in- 

 connues s'opère en soumettant successivement à l'épreuve suivante les 

 équations proposées, rangées dans un ordre quelconque : |jl désignant le 

 nombre des équations déjà conservées au moment oii l'on examine une équation 



de rang quelconque, on forme les- — '-~ ^ -déterminants d'ordre 



p. + 1 qui résultent de toutes les associations possibles p. -\~ i à p. + i des 

 n -+- I colonnes de coefficients de termes semblables dans les p. équations con- 

 servées et dans l'équation examinée; puis on rejette ou l'on conserve l'équation 

 dont il s'agit, selon que tons ces déterminants sont nuls ou que quelques-uns 

 d'entre eux ne le sont pas. L'ensemble des équations définitivement conser- 

 vées (leur nombre ne peut surpasser n -\- i) forme un système réduit qui 

 est équivalent au proposé, parce que les solutions qu'il peut avoir appar- 

 riennent toutes nécessairement à chacune des équations rejelées. » 



