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 » D'autre part, l'angle polaire $, décrit depuis l'époque t = o, reçoit 

 successivement pour expressions, si on l'évalue jusqu'aux termes en e"- 

 inclusiveraent, 



.) Il suffit d'y £ure ¥J t = 27: pour avoir l'intervalle angulaire qui sépare 

 deux minima consécutifs de r, ou après lequel la forme de la (rajectoire 

 se reproduit périodiquement. Il faudra qu'un nombre entier/ d'intervalles 

 pareils ait pour somme un multiple 2/7: de 271 si l'on veut que la courbe 

 décrite se ferme au bout de /révolutions autour du pôle. En élevant au 

 carré l'équation ainsi obtenue, puis remplaçant C^ par R'ç(R) et K', R^ 

 par leurs valeurs (4), (i), il vient aisément 



(7) V[F)-M'-^]s-Tiïï:^(36-^4« + -«^-9^). 



» Comme i et; sont deux entiers et ne peuvent pas varier avec conti- 

 nuité, cette équation ne sera satisfaite pour toutes les petites valeurs de e 

 que sises deux membres s'annulent séparément. Supposons que l'on de- 

 mande en outre que des trajectoires quasi circulaires fermées soient possi- 

 bles pour tontes les valeurs de R; alors le premier membre de (7), con- 

 stamment nul, permet d'exprimer le rapport dey à /en fonction continue de 

 R, ce qui revient à dire que ce rapport, forcément discontinu, ne dépend 

 pas de R; et luie intégration immédiate montre que y (R) est proportionnel 



à la puissance'^ — 3 de R : résultat déjà établi d'une autre manière 



par M. Bertrand dans un Mémoire du 20 octobre 1873 [Comptes rendus, 

 t. LXXVII, p. 852). Mais l'annulation du second membre de (7), néces- 

 saire si l'on veut que les orbites ne se ferment pas seulement à des quantités 

 près de l'ordre de e-, donne une condition de plus. En y supposant (p[r) 

 proportionnel à r", les valeurs (i) de «, b devienî;ent constantes, et l'on 

 reconnaît que la parenthèse du second membre de (7) équivaut à 

 («H- 2) [ti — i). Les deux cas bien connus n^= — 2, /= i, y = i, et 

 7z = I, / = i,y — 2, <jf»i iloiincnl des orbites du second degré ayant le pâle ou 

 j)0urj()jer, ou pour centre, sont donc tes seuls dans lesquels toutes les trajec- 

 toires quaii circulaires soient des courbes fermées. « 



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