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a qu'une seule, suivant que le délerminant de la forme A s'évanouit ou non. 

 Enfin je nomme yorme conjiujuée de A, cl je désigne par A' celle que l'on 

 oblient en échangeant les variables .r,j| , ..., x„j„. 



» En faisant usage de ces symboles, je puis énoncer le problème de la 

 transformation d'une forme quadratique 1s^D,jra,cc^ en elle-même, de la 

 manière suivante : « Étant donnée une forme bilinéaire symétrique 

 » S = Is^f^cc^x^ (S' = S\ dont le déterminant est différent de zéro, Irou- 

 » ver toutes les formes U = 2 //^p jt^ 7'p (substitutions) dont le délerminant 

 M ne s'évanouit pas et qui satisfont à l'équation 



(i) U'SU = S. » 



Lorsque le déterminant de C -)- U n'est pas nul, on a 



(2) U=.(S + T)-'(S-T), 

 où 



(3) T = S(C + U)-' (G - U) = (C + U')-' (U'S - SU) (C + U)-' 



représente une forme alternée (ï' = — T) quelconque, à coefficients finis, 

 telle que le déterminant de S 4- T diffère de zéro. 



)) En outre, chaque forme U qui satisfait à l'équation (i), et dont le dé- 

 terminant est +1 (substitution propre) peut être réduite à 



(4) U=:lim(S + T;,)-'(S-T,), 



où T/, = 2/ap.r3,j;"|3 désigne une foinie alternée, dont les coefficients t^v^ 

 sont des fonctions rationnelles d'un paramètre h et n'ont pas tous des va- 

 leurs finies pour h= o lorsque le déterminant de C 4- U est nul. 



» Considérons d'abord le cas particulier où le déterminant de C — U dif- 

 fère de zéro. Le nombre n étant nécessairement pair, imaginons une forriie 

 alternée quelconque H, dont le déterminant est différent de zéro; on 

 satisfait à l'équation (4) en posant 



(5) TA--=S[C + U-f-//(C- U)HS]-'(C- U). 



» La forme cherchée T/, est encore plus compliquée lorsque le déter- 

 minant de C — U s'évanouit en même temps que celui de C + U. Suppo- 

 sons que le déterminant de iC — U soit divisible par (/C -+- 1)'" et nom- 

 mons A le coefficient de (z'+i)"' dans le dévelo|)pement de la forme 

 (rC — U)~' par rapport aux puissances croissantes de /+ i . On démontre 

 que tous les mineiu's di; degré ni + i du déterminant de A (et de degré 



