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 ?i — m +ï du déterminant de C — A) sont ég.iux à zéro, tandis que ceux 

 du degré m (resp. 7i — m) ne le sont pas tous. Il en résulte que l'on peut 

 transformer ces formes en 



A = 3(/^,X, +.-.+f^nJC„){g^,jr, + ...-^g^„r„) {ll.= 1,2,..., m), 



» Si l'on pose maintenant 



G = 2gapJ"aJ>-p, 



on trouve 



GUG~' = U, + 11., G'-'SG-' = S, + S„, 



équations dans lesquelles les formes U,, S, ne contiennent que les varia- 

 bles jrj,7-|j^(p. = r, ..., 7?î) et U, S^, que les variables x\x^{v = m + i,...n). 

 Le nombre m étant nécessairement pair, imaginons une forme alternée H, 

 des variables x^y^ dont le déterminant est différent de zéro. Posons 

 enfin 



C,=^lx^r^, (,a= I, ..., m), C2=2a",j, (V—-77Z + I, ...,«). 



La forme cherchée sera 



\ TAr.G'|S,[C,+U,+/i(C, -U,)H,S,]-'(C, -U.) 



(6) 



+ S2(C, + Us)-'(C, -Ua) JG. 



» Il est presque inutile d'observer que tians cette formule le signe 

 (Cj + Uj)"', par exemple, représente la forme Xo, qui satisfait à l'équation 

 (C, + Uo) X» = Cj (et non pas = C). 



^ Il vous sera facile de vérifier les résultats indiqués. Mes démonstra- 

 tions, ainsi qu'un grand nombre de développements analogues et de 

 corollaires qui en découlent, se trouveront dans un Mémoire qui sera in- 

 séré dans un des prochains numéros du journal de M. Borchardt. 



» De peur d'abuser de votre temps, je ne cite parmi les résidtats qi»e j'ai 

 obtenus dans la théorie des substitutions linéaires que le suivant : 



» Le nombre des formes linéairement indépendantes X, qui sont permu- 

 tables contre une forme donnée A, c'est-à-dire qui satisfont à l'équation 

 AX = XA , est écjal à 



7Z + 2 («I + 772+ n^ +■■■)•, 



Uk désignant le degré du plus grand commun diviseur des mineurs d'ordre 

 H —k àw déterminant de la forme rC — A, >! 



C.B„ig77, g* .fîwri/r^, (T. LXXX.V, NO 5.1 |8 



