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GÉOMÉTRIE. — Démonstration de deux lois géométriques énoncées par 

 M. Chastes. Note de M. G. Fouiiet, présentée par M. Chasies. 



« 1. M. Chasies, dans la série des nombreux théorèmes qu'il a publiés 

 récemment sur les lieux géométriques, a reconnu l'existence de deux lois 

 générales ('), de nature à éclairer et à simplifier, dans beaucoup de cas, ce 

 genre de recherches. Bien que ces lois se trouvent vérifiées par un très- 

 grand nombre d'exemples, variant dans des limites assez étendues, il ne 

 sera pas inutile d'en établir, par une démonstration rigoureuse, l'exacti- 

 tude absolue. C'est ce que je me propose de faire, après avoir rappelé les 

 deux énoncés de M. Chasies : 



» I. — Lorsque, dans les données d'une question ayant pour objet ta re- 

 clierclie de l'ordie d'un lieu géométrique ou de ta classe d'une courlie enveloppe, 

 il se trouve un point qui glisse sur une courbe d'ordre m, laquelle courbe n'a 

 aucune autre relation avec les données de la question, ce nombre m entre comme 

 simple facteur d'iuie fonction des autres données de la question. 



» H. — Lorsque, dans les données d'une question ayant pour objet l'ordre 

 d'un lieu géométrique ou la classe d'une courbe enveloppe, il se trouve une 

 droite qui roule sur une courbe de la classe n, courbe n'ayant aucune autre re- 

 lation avec les données de la question, ce nombre n entre con^me simple fadeur 

 d'une fonction des autres données de la question. 



» Ces deux théorèmes sont corrélatifs : il suffira donc de démontrer 

 l'un des deux, le premier par exemple. 



» 2. Soit n un point mobile décrivant, dans un plan, le lieu géomé- 

 trique A, dont on veut déterminer l'ordre x. Supposons que l'une des 

 conditions qui définissent le lieu soit qu'un certain point b, lié à a par 

 des relations données, analytiqties ou géométriques, décrive dans le 

 même plan une courbe B du m'""' ordre. Les points a et b peuvent être 

 considérés comme appartenant à une figure F déformable et mobile, dont 

 la déformation et le mouvement sont régis par les conditions de la ques- 

 tion. A ce point de vue, l'ordre x du lieu A n'est autre chose que le 

 nombre des situations de la figure F, telles que le point a soit sur une 

 droite D prise arbitrairement. Pour avoir le nombre de ces solutions, 

 faisons décrire au point a la droite D : le point b décrit alors une certaine 

 courbe C, dont je désigne le degré par k; et il est bien clair que le 



(') Compte! rendus, t. LXXXIV, p. g^t, séance du 7 iiltI 1877. 



