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 nombre x cherché est égal au nombre des points d'intersection des 

 courbes B et C. Or, d'après le théorème de Bezout, on a x — km : donc ni 

 est bien facteur dans l'expression de l'ordre du lieu A. 



» Il n'est d'ailleurs pas douteux que le théorème de Bezout soit appli- 

 cable ici sans correction, attendu que la courbe B, indépendante, par hy- 

 pothèse, des autres données de la question ('), ne peut avoir aucun lien 

 avec la courbe C qui, par construction, ne dépend que de ces mêmes 

 données et de la droite arbitraire D. 



» Le premier théorème de M. Chasles, comme l'énoncé l'indique, s'ap- 

 plique également à la détermination de la classe de la courbe enveloppe 

 d'une droite liée à un point donné, dans un système variant suivant une 

 loi déterminée. La démonstration de ce second cas est toute semblable à 

 celle qui vient d'être exposée. 



3. La courbe A peut évidemment être envisagée comme une transformée 

 de la courbe B; il en est de même dans les trois autres cas que comportent 

 les deux lois énoncées par M. Chasles. Interprétées à ce point de vue, ces 

 lois peuvent se déduire d'une loi plus étendue sur les transformations des 

 systèmes de courbes, que j'ai déjà donnée antérieurement (^), et que je vais 

 rappeler en quelques lignes. 



» Je considère les transformations que M. Lie désigne sous le nom de 

 t7-ansJonnations de contact, et qui jouissent de la propriété de conserver, 

 dans les figures auxquelles on les applique, tons les contacts au-dessous 

 d'un certain ordre. En se bornant aux transformations qui conservent les 

 contacts du premier ordre, on a l'énoncé suivant : 



)) Si l'on applique à un système de courbes une transformation de contact {^), 

 telle quà un point et à une droite de la figure transformée correspondent respec- 

 tivement, dans la figure primitive, une courbe (a, /3), d'ordreaet de classe /3, et 

 une courbe (y, â), d'ordre y et de classe à, les caractéristiques >/, v' du nouveau 

 système seront données, en fonction des caractéristiques [j., v du système primi- 



C) On recounaît même facilement que certaines relations, entre la roiirbe B et les autres 

 conditions données, n'empêchent pas le théorème d'être applicable. 



(^j Voir une Note communiquée à la Société philomathique, et ayant pour titre : Sur les 

 transformations de contact des systèmes généraux de courbes planes. [L'Institut, 12 juillet 

 1876, p. 220.) 



C) Les conditions qui délinissent la transformation doivent être indépendantes des con- 

 ditions qui délinissent le système. 



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