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 tifpar tes relations 



^''^ ( y' = 7V + dp.. 



Pour démontrer la première de ces relations, il suffit d'observer qu'à cha- 

 cune des p.' courbes du système transformé, qui passent par un point O 

 arbitrairement choisi, il correspond une courbe du système (p., v), qui 

 touche la courbe [(«, ]3) correspondant au point O, et inversement. Le 

 nombre fx' des courbes du nouveau système qui passent en O est donc égal 

 au nombre des courbes du système primitif qui touchent («, |3), c'est-à- 

 dire, d'après un théorème bien connu, à «v + /3a. 



» De même, les courbes du système [jj.', v') qui touchent une droite 

 quelconque D, et les courbes du système (/J^, v) qui touchent la courbe 

 (y, (?), dont D est la transformée, se correspondent une à une, et, par suite, 

 le nombre v' des premières est égal au nombre yv ■+- §p. des secondes, 

 fourni par l'application du théorème déjà rappelé. 



» 4. Un grand nombre de conséquences relatives aux systèmes de 

 courbes dérivent immédiatement de la loi de transformation qui précède. 

 Je n'insiste pas sur ce point, ayant spécialement en vue de montrer com- 

 ment on peut en déduire les deux lois énoncées par M. Chasles. Revenons 

 à la première partie du théorème I, dont j'ai donné une démonstration di- 

 recte. Les divers points de la courbe B d'ordre m peuvent être assimilés aux 

 courbes d'un système; les caractéristiques de ce système particulier sont 

 jj. ;= o, V = m. Pareillement, les divers points de la courbe A d'ordre x 

 forment un système p,' = o, v' =t jc. Ayant désigné par k l'ordre de la 

 courbe qui, dans la figure primitive, correspond à une droite quelconque 

 de la figure transformée, on a y = k, â = o, et en appliquant la seconde 

 des relations (i), on retombe sur x ^ km, expression déjà trouvée, 



» On peut énoncer et démontrer pour l'espace des théorèmes analogues 

 à ceux qu'a donnés M. Chasles pour le plan. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur la division de la circonférence en parties égales. 

 Note de M. Ed. Lucas, présentée par M. Chasles. 



<i La théorie de la division géométrique de la circonférence en parties 

 égales est traitée dans la dernière Section des Disquisitiones arithrneticœ. Il 

 est convenu que cette opération ne peut être exécutée que des trois ma- 

 nières suivantes : i° par l'emploi simultané de la règle et du compas, comme 



