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 dans la construclioii oiiliiiaire du décagone régulier (Euclide); 2° par 

 l'emploi du compas sans la règle (INIascheroni) ; 3° par l'emploi de la 

 double règle, sans compas, c'est-à-dire d'une règle plaie donl les deux bords 

 sont rectilignes et parallèles. Cette idée ingénieuse est due à M. de Coat- 

 ponf, colonel du génie. 



« Gauss a démontré que, pour diviser la circonférence en N parties 

 égales, il faut et il suffit que 



N = 2t^ X (7,- X <7y X «7* X . . . , 



IJ. étant arbitraire, et fl,-, a,, a,,, .. . des nombres premiers et différents, en 

 nombre quelconque, mais de la forme 



rt„ — 2'-' -I- 1. 

 On a, pour les premières valeurs de n, les nombres premiers 



a„ = 3, «I = 5, a, = 17, «3 = 257, n, = 65537- 



Euler a démontré, contrairement à une assertion de Fermât, que O5 n'est 

 pas premier, puisque 



«5 = 2-' + I = 6/ii X 6700417; 



ainsi a^ ne peut être compris dans l'expression de N; mais il reste deux 

 questions importantes à résoudre : 



» i" Comment peut-on continuer le tableau des nombres premiers rt„? 



» 2" Existe-t-il une série indéfinie de nombres premiers de celle forme? 



» L'objet de cette Note est la réponse à la première question; mais 

 d'abord nous ferons observer que, pour savoir si le nombre 



<7o = 2°' + I = 18446744073709551617 



est premier ou composé, l'application de toutes les méthodes connues jus- 

 qu à présent (même en tenant compte de la forme linéaire laS/y + i des 

 diviseurs de a^) nécessiterait trois mille ans de travail assidu. Par le procédé 

 suivant, il suffit de former successivement les carrés de soixante nombres 

 ayant vingt chiffres au plus; ce calcul peut être effectué en Irenle heures. 

 Soit, en effet, 



V2U), = (l+V^2)'-(l-s/2)\ 



on forme la série des nombres 



U, = 2, U2 = a\3, 1)3 = 2^3.17, U, = 2''. 3. 17.577, 

 U, = 2\3. 17.577.665837, ...; 



