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 chacun des nouveaux facteurs est premier avec tous les précédents, et égal 

 au double du carré du précédent diminué de l'unité; cela posé, on a le 

 théorème suivant, qui n'est qu'un cas parlicuher d'un théorème énoncé 

 précédemment (Comptes rendus, 5 juin 1876). 



» Théorème — Soil le nombre a,, = 2-' + 1 ; on Jorme la série des 2""' 



nombres 



3, 17, 577, 665857, 886731088897, . ., 



tels que chacun d'eux est égal au double du carré du précédent diminué de t unité; 

 le nombre a„ est premier, lorsque le premier terme divisible par a„ occupe le 

 rang 2""' ; il est composé, si aucun des termes de la série n'est divisible par 

 a„; enfin, si a désigne le rang du premier terme divisible par a,„ les diviseurs 

 premiers de (7„ appartiennent à la forme linéaire 



2- q-rl. 



'I II est indispensable de calculer les résidus des nombres U,, Uo, U4, 

 Ug, ..., suivant le module fl„, au moyen de simples soustractions des dix 

 premiersmultiples de rt„; ainsi, pourn= 6,1a caractéristique du logarithme 

 ordinaire deU^ est supérieure à 5 x 10" ; il faudrait donc, rien que pour 

 écrire le nombre U^ , à raison de dix chiffres par seconde, un temps supé- 

 rieur à deux cents millions de siècles. Je fais exécuter en ce moment les cal- 

 culs concernant les nombres n^ et «,. 



» 2. La considération des termes des séries récurrentes, dont les argu- 

 ments sont eu progression géométrique, conduit non-seulement à la re- 

 cherche des grands nombres premiers, mais encore aux développements 

 des irrationnelles du second degré et de leurs logarithmes en séries de 

 fractions dont les dénominateurs sont composés de facteurs premiers entre 

 eux deux à deux. Soient, en général, 



a" — h" ^ V ■ , 



U„ — -r et Q — - ab.. 



a — 



a et b désignant les deux racines d'une équation du second degré ; on a 

 l'identité 



— ^ 



et, en particulier, 



I — V5 __ I I I I 1 



3 3.7 3.7.47 3.7.47.2207 



1 o o^ ^ 



I 



2''.3 2^.3.17 2 '.3. 17.677 



