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 nées. Pour faire connaître et apprécier cette mélhode, j'en multiplie les 

 applications. En voici encore une; et si, à côté de choses nouvelles, on 

 remarque des propriétés connues, c'est que, lorsqu'il s'agit d'une méthode, 

 il importe surtout d'en montrer l'utilité et la facilité. 



» M. de Saint-Venant (') a appelé l'attention sur les courbes qui ont les 

 nièmos normales princij)ales. M. Bertrand (-) a donné la relation linéaire 

 qui doit exister entre les courbures d'une courbe pour que les normales 

 principales de celte courbe soient en même temps les normales principales 

 d'une autre courbe. Je démontrerai cette relation et quelques propriétés 

 de ces courbes. 



» Soient (rt) et [a') les courbes ayant les mêmes normales principales et 

 (S,) la surface formée par ces normales. Sur cette surface, [a) et {a') sont 

 des trajectoires orthogonales des génératrices; elles interceptent sur ces 

 droites un segment de grandeur constante; nous désignerons par /la lon- 

 gueur de ce segment. 



)) Ces courbes sord des lignes asjmploliqiies de (SJ, puisque leurs plans 

 osculateurs sont tangents à cette surface. 



» Comme elles renconirent à angle droit les génératrices de (SJ, il en 

 résulte qu'en un point quelconque d'une de ces courbes les rayons de courbure 

 principaux de (SJ sonl égaux et de signes contraires, el que les plans des sec- 

 tions principales de [S^) font des angles de 45 degrés avec le plan normal mené 

 à la courbe en ce point. 



» Démontrons maintenant ce théorème : 



eSi deux courbes admettent les mêmes normales principales, les plans oscu- 

 lateurs de ces courbes aux points ou elles rencontrent une même normale font 

 entre eux un angle constant, quelle que soit cette normale (P. Seri^et) ('), 



') Prenons [a) de façon que le plan langent à (S,) au point à l'infini sur 

 rtfl' soit horizontal. Déplaçons na' sur (SJ de manière que cette droite 

 vienne coïncider avec la génératrice qui lui est infiniment voisine, el entraî- 

 nons en même temps le plan osculateur en a de façon qu'il vienne coïn- 

 cider avec le plan osculateur de [a] au point infiniment voisin de a. Ce 

 plan osculateur a pour caractéristique la tangente à [a) en a, c'est-à-dire 

 une ligne de plus grande pente, et, pendant ce déplacement, il conserve 

 alors son inclinaison sur un plan horizontal. Cela peut se répéter pour le 



(') Journal de l'École Polytechnique, XXX° Ciihier. 

 (') Journal de Malhématiques, i'''-" série, t. XV, p. 332. 



(') Théorie nouvelle géométrique et mécanique des lignes à double courbure, par P, Serret, 

 p. 109. 



