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plan oscillateur de («'). Le dièdre formé par ces deux plans osculateurs, 

 lorsque aa' se déplace infiniment peu, en restant liorizonfale, est alors tel 

 que ses faces conservent leurs inclinaisons sur un plan ; il est donc de gran- 

 deur invariable. (Nous appellerons oj cet angle dièdre. ) 



» Le théorème est ainsi démontré et il en résulte facilement celui-ci (') : 

 » Les points ou deux courbes ayant les mêmes normales principales ren- 

 contrent une de leurs normales et les centres de courbuie de ces courbes déter- 

 minent quatre points dont le rapport anharmonique est constant, quelle que soit la 

 normale considérée (-). 



» Reprenons le dièdre de tout à l'heure et déplaçons-le comme il a été 

 dit. Les caractéristiques des faces de ce dièdre étant perpendiculaires à 

 l'arête cia', ce déplacement ne peut être obtenu par ime simple rotation ('). 

 Nous emploierons alors deux axe.s simultanés de rotation. Appelons (T) le 

 plan osculateur de [a) en a. Ce pian peut être déplacé d'une infinité de 

 manières en restant toujours tangent à (S„), pendant que la droite aa\ 

 qui lui est liée, vient coïncider avec la génératrice infiniment voisine de 

 (S„). Les axes de rotation D, A au moyen desquels on obtient tous ces dé- 

 placements sont issus des centres de courbure principaux y, et y., de (S,) 

 et sont dans les plans des sections principales correspondantes. Et comme 

 la normale à la surface trajectoire engendrée pendant ces déplacements 

 par un point quelconque de^', c'est-à-dire une normale de (S„), doit les 

 rencontrer, ces droites D, A sont des génératrices du paraboloïde formé par 

 les normales à (S„) issues des points de aa'. 



» Construisons D. Sur (T) traçons le triangle rectangle isoscèle «rt'è; 



(') En employant cotle ])ro|)iiélé : Quatre plans tangents à une snrface gauche, menés 

 ]i(ir une nicnic généralricr, nui leur lYijiport anharnw/iiijuc égal à celui de leurs cjualre 

 points de contact (Chasles). 



(^) Journal de JMatliéniatiques, 2" série, t. XVII, p. 4l3. 



(') Comptes rendus, 11 juin 187^, p. 13^3. 



