( 2i5 ) 

 élevons au plan (T) la perpendiculaire hc. Celte droite rencontre la normale 

 a'c à ( S, ) au point c. La droite y, c est l'axe D cherché ; l'autre axe A s'ob- 

 tient de la même manière. . 



» Il résulte de cette construction awe a'b z= L a'c ^ -. — = const. Et, 



|!uisque D ot A sont des génératrices du paraboloïde des normales à (S,), 

 ces droites sont parallèles au plan central de cette surface pour la généra- 

 trice aa' . Donc : 



» Les plans 'menés par les centres de courbure principaux '^ ^ , y,, parallèle- 

 ment au plan central de {S^) pour aa', déterminent sur la normale de à (S„) 

 un segmeiU qui est de grandeur constante, quelque soit le point pris sur {a). 



» Le plan mené du point y,, parallèlement au plan central relatif à ad, a 

 pour trace la droite X,^ sur le plan {y, an'), et sur le plan (c a'c?), perpendicu- 

 laire en a' à an', il a pour trace la droite cd. 



)) Si nous appliquons le théorème précédent à la courbe {a'), nous de- 

 vons alors mener du centre de courbure principal y', la droite y'e paral- 

 lèlement à ce? et e/ parallèlement à ae'. On a alors af ou ae — -. 



■^ ' -^ sir.M 



B Les triangles semblables a'ey, et a'de donnent o»<?7i _ «g ^ 

 d'où «7, X a'y, = -v—-- 



» Ainsi : le produit des rajons de courbure principaux de (SJ, aux points 

 situés sur même normale principale, est constant, quelle que soit cette normale. 



» Mais les rayons de courbure principaux rt y,, a'y\ sont respectivement 

 égaux aux rayons de seconde courbure des courbes {a) et («'). 



» Ce théorème peut alors s'énoncer : 



» Le produit des rayons de seconde courbure de deux courbes qui ont les 

 mêmes normales principales, pour deux points situés sur une même normale, est 

 constant, quelle que soit cette normale ( ' ). (Schell). 



» Le plan normal en a à {a) est tangent à (S„) au point a, centre de cour- 

 bure de {a). La normale ah à (SJ est alors dans le plan (T). Cette droite 

 passe par la trace h de D sur ce plan. Le plan y, cd a pour trace sur (T) la 

 parallèle hi à aa'. Ou a alors a' i = ah = aa ou p. 



(') ^llgcinrine Théorie der Curvcn doppclter Krûmmung in rein gcomctrischcr Dnrstcl- 

 lung. Leipzig, p. 76; 1859. 



