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M Le même fait existe pour rexpression de l'ordre d'une surface gauche, en- 

 gendrée par une droite liée au système considéré. 



» I^a démonstration de ces deux propositions, d'ailleurs corrélatives, se 

 fait très-simplement, en suivant une marche analogue à celle qui m'a servi, 

 pour démontrer les deux théorèmes de M. Chasies (' ). En ce qui concerne 

 le théorème I, par exemple, le nombre à déterminer, ordre ou classe, est 

 égal au nombre des points d'intersection de la courbe du m"'"'^ ordre 

 donnée, avec une certaine surface auxiliaire, indépendante de cette der- 

 nière courbe. Or on sait que, dans de pareilles conditions, le nombre des 

 intersections distinctes est égal au produit de l'ordre ;;z de la courbe par 

 l'ordre de la surface (-). 



2. Si l'on considère un système géométrique, dont la variation dépend 

 de deux paramètres, on peut énoncer les lois suivantes : 



B III. — Lorsque, dans les données d'une question, ayant pour objet la re- 

 cherche de l'ordre d'une surface, lieu d'un point niobile, ou de la classe d'une 

 surface, enveloppe d'un plan niobile, il se trouve un point assujetti à par- 

 courir une surface d'ordre m, n ayant aucune relation avec les autres données 

 de la question, ce nombre m entre comme facteur dans l'expression du nombre 

 cherché, ordre ou classe. 



» IV. — Lorsque, dans les données d'une question, ayant pour objet la 

 recherche de l'ordre d'une surface, lieu d'un point mobile, ou de la classe 

 d'une surface, enveloppe d'un plan mobile, il se trouve un plan assujetti à tou- 

 cher une surf ace de classe n, n'ayant aucune relation avec les autres dontiées de 

 la question, ce nombre n entre comme facteur dans l'expression du nombre 

 cherché, ordre ou classe. 



» Ces deux théorèmes sont corrélatifs. Ils se démontrent par le procédé 

 exposé plus haut, en considérant, pour le théorème III par exemple, l'in- 

 tersection de la surface lieu du point mobile avec une courbe auxiliaire. 



» Aux théorèmes III et IV on peut ajouter qu'i(/)e droite, liée au système 

 mobile, engendre une congruence, dont l'ordre et la classe contiennent, comme 

 facteur, l'un des deux nombres m et n (suivant le cas). 



» On a encore, sur les congruences, le théorème suivant : 



)' V. Lorsque, dans les données d'une question, ajant pour objet la recherche 

 de l'ordre d'une surface, lieu d'un point mobile, ou de la classe d'une surface, 



M) f^oir p. i34 Je ce volume. 



(') J'ai donné, de ce fait connu, deux démonstrations géométriques rigoureuses (5;//- 

 letin (le la Société mathématique de France, t. I, p. 122 et 258). 



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