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posant 



X = ^^ [ — X. I -+- ax. 1 + hx. I — abx, 

 Y = r. I — )-. I -i- aj-.i -+- hj\ I — ab y 



(et c ~ \/i -\- a.J i- b), M. Hermite a effectué l'inlégration, par fonctions 

 elliptiques, des équations différentielles 



dx dy 



.rdx y dy 



7^ "^" ^ ~ ~ 



\j'ab 



[du -+- dv), 

 [du - dv) ; 



a = 



c = 

 d = 

 e = 



ab = 



ac 



ad 



ae 



bc 



bd 



1)6 



cd 

 ce 

 de 



il a en effet trouvé les expressions, au moyen des fonctions elliptiques de 

 u, V, des fonctions symétriques x+j, xy, et, de là, des cinq fonctions 

 a, b, c, d, e dont je vais parler. 



Au cas d'une fonction X du sixième ordre, on a dans la théorie seize 

 fonctions, savoir six fonctions a,b, c, d, e, f, et dix fonctions abf.cde, ..., 

 ou (avec une notation plus simple) ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de : 

 dans le cas d'une fonction du cinquième ordre, et ainsi dans le cas actuel, 

 l'une des six fonctions, disons f, se réduit à l'unité, et l'on a les cinq 

 fonctions a, b, c, d, e, et les dix fonctions ab, . . ., de. 



Présentement, ces fonctions sont 



xy, 



\ — x.\ — r, 



I -\- ax.\ + ay, 

 1 -1- bx. I -H by, 

 I — abx. 1 — aby. 



X. I -^ny. I -\- by. i — aliy — \y. i — y. \ +ax.i + bxA — abx)' 



\y. I -hay.i — x.i-\-bx. i —abx)' 



= (v'.r.i -hax. I — y.i -\-by. i — ub r 



■X. I -hax. I 



abx) 



=: {\fx I -f- bx. i — y. I + ay. i — aby — \y. i + by. i 



= {\x. I — abx. 1 — y.i -+■ ay. i -h by — \y. i — abj-. i — j:^. i -hax.i-hbx)' 

 = (v'i — x.i + ax y.i + by.i — aby — \j i —y-i -\-ay.x. i-hbx.i — abx) 

 = (y'i — x.i-\-bx.y. I -\- ay. i — aby — \ i — j\ i-i-by.x. i -\-ax. i — abx)' 

 = (\/j — x.\ — abx.y. i -^ay.i + by— \ \ —y. i —aby.x.i -\-ax.i — bx)' 

 = (y/i +rtx. 1 + bx.y. i —y. i — aby— \J \ -\-ay. i + hy.x. i — x.\ — abx) 

 = (v'i +ax.ï — abx.y.i —y.i -hby — i^i-\-ay. i — aby.x.i —x. i-\-bx)'^ 

 — {\'i-i-bx.i — abx.y.i — j .i -\-ay — V' + «.?'• ' — aby.x. i—x.x + ax)''- 



[x- 

 (.r- 

 [x ■ 

 [x. 

 [x ■ 



{X- 



[x. 



(.r- 



- rr, 



■ tY, 



-7)% 



■r)% 



-J)\ 

 ■.r)\ 



